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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 10:56 Do 07.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Zum neuen Jahr eine schöne Aufgabe:
| Aufgabe | Die Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] sei auf [mm] \IR [/mm] zweimal stetig differenzierbar und es existieren [mm] $c_1 [/mm] >0, [mm] c_2 [/mm] >0$ mit
$|f(x)| [mm] \le c_1$ [/mm] für jedes $x [mm] \in \IR$
[/mm]
und
$|f''(x)| [mm] \le c_2$ [/mm] für jedes $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Man zeige:
$|f'(x)| [mm] \le 2\wurzel{c_1*c_2}$ [/mm] für jedes $x [mm] \in \IR$. [/mm] |
Wer hat Lust, sich daran zu versuchen ?
Grüße FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Do 07.01.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
> Zum neuen Jahr eine schöne Aufgabe:
die ist tatsaechlich schoen, und soo schwer ist der Beweis nun auch wieder nicht. Aber ich vermute du kennst ihn sowieso 
> Die Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] sei auf [mm]\IR[/mm] zweimal stetig
> differenzierbar und es existieren [mm]c_1 >0, c_2 >0[/mm] mit
>
> [mm]|f(x)| \le c_1[/mm] für jedes [mm]x \in \IR[/mm]
>
> und
>
> [mm]|f''(x)| \le c_2[/mm] für jedes [mm]x \in \IR[/mm].
>
> Man zeige:
>
> [mm]|f'(x)| \le 2\wurzel{c_1*c_2}[/mm] für jedes [mm]x \in \IR[/mm].
Sei $x [mm] \in \IR$ [/mm] fest gewaehlt. Fuer $t > 0$ ist $f'(x + t) - f'(x) = [mm] \int_x^{x + t} [/mm] f''(s) [mm] \; [/mm] ds [mm] \ge -c_2 [/mm] t$ und analog $f'(x - t) - f'(x) [mm] \ge -c_2 [/mm] t$; also gilt $f'(x + t) [mm] \ge [/mm] f'(x) - [mm] c_2 [/mm] |t|$ fuer alle $t [mm] \in \IR$. [/mm] Fuer ein beliebiges $a > 0$ folgt damit $f(x + a) - f(x - a) = [mm] \int_{x - a}^{x + a} [/mm] f'(ds) [mm] \; [/mm] ds [mm] \ge [/mm] 2 [mm] \int_0^a [/mm] f'(x) - [mm] c_2 [/mm] s [mm] \; [/mm] ds = 2 a f'(x) - [mm] c_2 a^2$.
[/mm]
Sei nun angenommen, dass es ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] gibt mit $|f'(x)| > 2 [mm] \sqrt{c_1 c_2}$; [/mm] ohne Einschraenkung sei $f'(x) > 0$, also $f'(x) > 2 [mm] \sqrt{c_1 c_2}$ [/mm] (andernfalls $f$ durch $-f$ ersetzen). Waehlt man $a = f'(x) / [mm] c_2$, [/mm] so erhaelt man $f(x + a) - f(x - a) [mm] \ge f'(x)^2 [/mm] / [mm] c_2 [/mm] > 2 [mm] c_1$. [/mm] Jedoch muss nach Voraussetzung $|f(x + a) - f(x - a)| [mm] \le [/mm] |f(x + a)| + |f(x - a)| [mm] \le [/mm] 2 [mm] c_1$ [/mm] gelten, ein Widerspruch!
Also muss $|f'(x)| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \sqrt{c_1 c_2}$ [/mm] gelten.
EDIT: Ich hab das mal fuer alle anderen unlesbar gemacht; es soll ja nicht gleich alles verraten werden (ich dachte eigentlich das passiert von alleine). Eine Frage haette ich noch: gilt nicht sogar $<$ und nicht nur [mm] $\le$? [/mm] Wenn naemlich $=$ eintreten sollte in einem Punkt $x$, dann muesste doch $f'(x + t)$ links oder rechts von $x$ echt ueber der Schranke $f'(x) - 2 |t|$ liegen, und wegen der Stetigkeit wuerde man dann ebenfalls $|f(x + a) - f(x - a)| > 4 [mm] c_1$ [/mm] herausbekommen? Oder vertue ich mich da?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:14 Fr 08.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Hallo Felix,
Dein Beweis gefällt mir sehr, die Lösung, die ich im Auge habe , ist methodisch ganz anders
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Fr 08.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Fred,
> Dein Beweis gefällt mir sehr, die Lösung, die ich im Auge
> habe , ist methodisch ganz anders
dann bin ich aber mal gespannt welche Loesung du im Auge hast :) Magst du sie mir verraten?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Fr 08.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Dein Beweis gefällt mir sehr, die Lösung, die ich im Auge
> > habe , ist methodisch ganz anders
>
> dann bin ich aber mal gespannt welche Loesung du im Auge
> hast :) Magst du sie mir verraten?
Gerne:
Sei x [mm] \in \IR [/mm] (fest). Weiter sei h>0. Nach dem Satz von Taylor gibt es ein [mm] $\xi \in [/mm] [x, x+h]$ mit
$f(x+h) = f(x)+hf'(x)+ [mm] \bruch{h^2}{2}f''(\xi)$
[/mm]
Es folgt
$f'(x) = [mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}- \bruch{h}{2}f''(\xi)$,
[/mm]
und somit
$|f'(x)| [mm] \le \bruch{2c_1}{h}+ \bruch{h}{2}c_2$.
[/mm]
Wählt man nun speziell $h = [mm] 2*\wurzel{ \bruch{c_1}{c_2}}$, [/mm] so erhält man das Resultat
Grüße FRED
P.S. die obige spezielle Wahl von h sollte nicht überaschen, denn die Funktion
$ h [mm] \mapsto \bruch{2c_1}{h}+ \bruch{h}{2}c_2$
[/mm]
hat in $h = [mm] 2*\wurzel{ \bruch{c_1}{c_2}}$ [/mm] ihr Minimum.
>
> LG Felix
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Fr 08.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Fred,
> > > Dein Beweis gefällt mir sehr, die Lösung, die ich im Auge
> > > habe , ist methodisch ganz anders
> >
> > dann bin ich aber mal gespannt welche Loesung du im Auge
> > hast :) Magst du sie mir verraten?
>
>
> Gerne:
>
> Sei x [mm]\in \IR[/mm] (fest). Weiter sei h>0. Nach dem Satz von
> Taylor gibt es ein [mm]\xi \in [x, x+h][/mm] mit
>
> [mm]f(x+h) = f(x)+hf'(x)+ \bruch{h^2}{2}f''(\xi)[/mm]
ah, an Taylor hatte ich gar nicht gedacht. Mir ist spontan nur der Hauptsatz der Integral- und Differentialgleichung eingefallen, um $f$, $f'$ und $f''$ in Beziehung zu setzen (sieht man mal von den Mittelwertsaetzen ab).
> P.S. die obige spezielle Wahl von h sollte nicht
> überaschen, denn die Funktion
>
> [mm]h \mapsto \bruch{2c_1}{h}+ \bruch{h}{2}c_2[/mm]
>
> hat in [mm]h = 2*\wurzel{ \bruch{c_1}{c_2}}[/mm] ihr Minimum.
Ja, das stimmt.
Mit der Methode kommt man aber nicht so einfach darauf, dass $|f'(x)| < 2 [mm] \sqrt{c_1 c_2}$ [/mm] sein muss, oder?
LG Felix
PS: Ich habe schachuzipus Leserechte eingeraeumt, da er mich darum gebeten hat und (laut eigenen Angaben) keine Antwortabsichten hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Fr 08.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > > Dein Beweis gefällt mir sehr, die Lösung, die ich im Auge
> > > > habe , ist methodisch ganz anders
> > >
> > > dann bin ich aber mal gespannt welche Loesung du im Auge
> > > hast :) Magst du sie mir verraten?
> >
> >
> > Gerne:
> >
> > Sei x [mm]\in \IR[/mm] (fest). Weiter sei h>0. Nach dem Satz von
> > Taylor gibt es ein [mm]\xi \in [x, x+h][/mm] mit
> >
> > [mm]f(x+h) = f(x)+hf'(x)+ \bruch{h^2}{2}f''(\xi)[/mm]
>
> ah, an Taylor hatte ich gar nicht gedacht. Mir ist spontan
> nur der Hauptsatz der Integral- und Differentialgleichung
> eingefallen, um [mm]f[/mm], [mm]f'[/mm] und [mm]f''[/mm] in Beziehung zu setzen (sieht
> man mal von den Mittelwertsaetzen ab).
>
> > P.S. die obige spezielle Wahl von h sollte nicht
> > überaschen, denn die Funktion
> >
> > [mm]h \mapsto \bruch{2c_1}{h}+ \bruch{h}{2}c_2[/mm]
> >
> > hat in [mm]h = 2*\wurzel{ \bruch{c_1}{c_2}}[/mm] ihr Minimum.
>
> Ja, das stimmt.
>
> Mit der Methode kommt man aber nicht so einfach darauf,
> dass [mm]|f'(x)| < 2 \sqrt{c_1 c_2}[/mm] sein muss, oder?
Ja, ich sehe es noch nicht
>
> LG Felix
>
>
> PS: Ich habe schachuzipus Leserechte eingeraeumt,
Prima
Gruß FRED
> da er
> mich darum gebeten hat und (laut eigenen Angaben) keine
> Antwortabsichten hat.
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