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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Jodocus |
| Aufgabe | | Sei A [mm] \equiv \{ \bruch{1}{2\pi k} : k \in \IZ \} \subseteq \IC. [/mm] Zeige: 0 ist Berührpunkt von A bzgl. [mm] O_{\IC}. [/mm] |
Hallo!
ich wollte mich an obiger Aufgabe mal testen, da ich in Topologie noch eine Menge Nachholbedarf und bald eine Klausur habe. Ich hab's mal so probiert:
Sei x [mm] \in [/mm] A. Dann existiert für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein N = [mm] N(\varepsilon) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi\varepsilon}, [/mm] sodass für alle k [mm] \in \IZ [/mm] mit |k| [mm] \ge [/mm] N und x = [mm] \bruch{1}{2\pi k} [/mm] gilt: [mm] d_{{\parallel*\parallel}_{\IC}}(x, [/mm] 0) = |x - 0| = [mm] |\bruch{1}{2\pi k}| [/mm] < [mm] |\bruch{1}{2\pi N}| [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm] Da [mm] \varepsilon [/mm] beliebig ist, lässt sich für jedes [mm] \delta \in \IC [/mm] ein [mm] \varepsilon [/mm] mit [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \delta [/mm] finden, sodass ein k [mm] \in \IZ [/mm] existiert mit y [mm] \equiv |\bruch{1}{2\pi k}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \delta [/mm] und y [mm] \in [/mm] A. Da aber für [mm] \delta [/mm] > [mm] \varepsilon [/mm] die Menge U [mm] \equiv \{x \in \IC : |x| < \delta \} [/mm] eine Umgebung von 0 ist, folgt wegen [mm] |\bruch{1}{2\pi k}| [/mm] = |y| < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \delta: [/mm] y [mm] \in [/mm] U. Dann ist aber A [mm] \cap [/mm] U [mm] \not= \{ \}, [/mm] also ist 0 ein Berührpunkt von A.
Kann man das so absegnen? Ich bin irgendwie stutzig, da man das ganze auch noch mal für eine Menge B [mm] \equiv \{\bruch{1}{(2k+1)\pi} : k \in \IZ\} [/mm] zeigen soll. Aber das sollte doch nicht viel am Beweis ändern?
Zu guter letzt: Warum darf in der Aufgabenstellung davon ausgegangen werden, dass k [mm] \in \IZ [/mm] und nicht k [mm] \in \IZ \backslash \{0\}?
[/mm]
Schon mal danke!
... und nebenbei "Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 So 29.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei A [mm]\equiv \{ \bruch{1}{2\pi k} : k \in \IZ \} \subseteq \IC.[/mm]
> Zeige: 0 ist Berührpunkt von A bzgl. [mm]O_{\IC}.[/mm]
> Hallo!
> ich wollte mich an obiger Aufgabe mal testen, da ich in
> Topologie noch eine Menge Nachholbedarf und bald eine
> Klausur habe. Ich hab's mal so probiert:
>
> Sei x [mm]\in[/mm] A. Dann existiert für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein N
> = [mm]N(\varepsilon)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi\varepsilon},[/mm] sodass für
> alle k [mm]\in \IZ[/mm] mit |k| [mm]\ge[/mm] N und x = [mm]\bruch{1}{2\pi k}[/mm]
> gilt: [mm]d_{{\parallel*\parallel}_{\IC}}(x,[/mm] 0) = |x - 0| =
> [mm]|\bruch{1}{2\pi k}|[/mm] < [mm]|\bruch{1}{2\pi N}|[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm]
Das reicht doch schon:
für alle $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > 0 ex. ein N = $ [mm] N(\varepsilon) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2\pi\varepsilon}, [/mm] $ sodass für alle k $ [mm] \in \IZ [/mm] $ mit |k| $ [mm] \ge [/mm] $ N und x = $ [mm] \bruch{1}{2\pi k} [/mm] $ gilt: $ [mm] d_{{\parallel\cdot{}\parallel}_{\IC}}(x, [/mm] $ 0) = |x - 0| = $ [mm] |\bruch{1}{2\pi k}| [/mm] $ [mm] \le [/mm] $ [mm] |\bruch{1}{2\pi N}| [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon. [/mm] $
Also liegt a [mm] \in [/mm] A und in der [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung von 0.
> Da
> [mm]\varepsilon[/mm] beliebig ist, lässt sich für jedes [mm]\delta \in \IC[/mm]
> ein [mm]\varepsilon[/mm] mit [mm]\varepsilon[/mm] < [mm]\delta[/mm] finden, sodass ein
> k [mm]\in \IZ[/mm] existiert mit y [mm]\equiv |\bruch{1}{2\pi k}|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] < [mm]\delta[/mm] und y [mm]\in[/mm] A. Da aber für [mm]\delta[/mm] >
> [mm]\varepsilon[/mm] die Menge U [mm]\equiv \{x \in \IC : |x| < \delta \}[/mm]
> eine Umgebung von 0 ist, folgt wegen [mm]|\bruch{1}{2\pi k}|[/mm] =
> |y| < [mm]\varepsilon[/mm] < [mm]\delta:[/mm] y [mm]\in[/mm] U. Dann ist aber A [mm]\cap[/mm] U
> [mm]\not= \{ \},[/mm] also ist 0 ein Berührpunkt von A.
>
> Kann man das so absegnen? Ich bin irgendwie stutzig, da man
> das ganze auch noch mal für eine Menge B [mm]\equiv \{\bruch{1}{(2k+1)\pi} : k \in \IZ\}[/mm]
> zeigen soll. Aber das sollte doch nicht viel am Beweis
> ändern?
> Zu guter letzt: Warum darf in der Aufgabenstellung davon
> ausgegangen werden, dass k [mm]\in \IZ[/mm] und nicht k [mm]\in \IZ \backslash \{0\}?[/mm]
Natürlich muß k [mm] \ne [/mm] 0 sein.
FRED
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> Schon mal danke!
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>
> ... und nebenbei "Ich habe diese Frage in keinem Forum auf
> anderen Internetseiten gestellt."
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