Berührungspunkt < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 So 02.11.2008 | | Autor: | chet |
| Aufgabe | [mm] \mathbb{R} [/mm] mit eukl. Top. versehen.
[mm] C(\mathbb{R}) [/mm] Menge aller stetigen Fkt. auf [mm] \mathbb{R}
[/mm]
P = {p [mm] \in C(\mathbb{R}) [/mm] | p(x)>0 für alle x [mm] \in \mathbb{R}}
[/mm]
Für p [mm] \in [/mm] P, f [mm] \in [/mm] C(R) sei:
U(p,f)={g [mm] \in C(\mathbb{R}) [/mm] | |f(x)-g(x)| < p(x) für alle x [mm] \in \mathbb{R}}
[/mm]
TOPP ist die Topologie, die von der Menge der U(p,f)s als Subbasis erzeugt wird.
0 ist die konstante nullfunktion.
Beweise; 0 ist Berührungspunkt von P |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Diese Aufgabe besteht im Prinzip eigentlich nur im Nachprüfen einer Definition.
Nämlich, dass jede offene Umgebung von 0, geschnitten mit P nicht leer ist.
Das gestaltet sich nun aber seit ein paar Tagen als schwieriger als erwartet.
Denn es ist schon klar, dass jede solche offene Umgebung V nur eine Vereinigung offener Mengen (also Elemente von TOPP) ist.
Und ein bisschen weiter in der Überlegung, muss man natürlich auch nur noch Basiselemente betrachten.
$$Also endliche Schnitte von eben solchen [mm] U(p_i, f_i), p_i \in [/mm] P, f [mm] \in C(\mathbb{R}) [/mm] für i=1 bis n.
Es ist auch klar, dass aus 0 [mm] \in U(p_i,f_i) \forall [/mm] i folgt, dass [mm] |f_i(x)| [/mm] < [mm] p_i(x) \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] und [mm] \forall [/mm] i$$
Bis morgen, wäre es wirklich gut, wenn ich zumindest eine klarerer Anschauung bekommen würde.
Bitte helft mir, wenn ihr könnt !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 So 02.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\mathbb{R}[/mm] mit eukl. Top. versehen.
> [mm]C(\mathbb{R})[/mm] Menge aller stetigen Fkt. auf [mm]\mathbb{R}[/mm]
> [mm]P = \{p \in C(\mathbb{R}) | p(x)>0 \text{ für alle } x \in \mathbb{R}\}[/mm]
>
> Für p [mm]\in[/mm] P, f [mm]\in[/mm] C(R) sei:
> [mm] U(p,f)=\{g \in C(\mathbb{R}) | |f(x)-g(x)| < p(x) \text{ für alle } x \in \mathbb{R}\}[/mm]
>
> TOPP ist die Topologie, die von der Menge der U(p,f)s als
> Subbasis erzeugt wird.
> 0 ist die konstante nullfunktion.
> Beweise; 0 ist Berührungspunkt von P
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> Diese Aufgabe besteht im Prinzip eigentlich nur im
> Nachprüfen einer Definition.
> Nämlich, dass jede offene Umgebung von 0, geschnitten mit
> P nicht leer ist.
>
> Das gestaltet sich nun aber seit ein paar Tagen als
> schwieriger als erwartet.
>
> Denn es ist schon klar, dass jede solche offene Umgebung V
> nur eine Vereinigung offener Mengen (also Elemente von
> TOPP) ist.
>
> Und ein bisschen weiter in der Überlegung, muss man
> natürlich auch nur noch Basiselemente betrachten.
> [mm][/mm]Also endliche Schnitte von eben solchen [mm]U(p_i, f_i), p_i \in[/mm]
> P, f [mm]\in C(\mathbb{R})[/mm] für i=1 bis n.
>
> Es ist auch klar, dass aus 0 [mm]\in U(p_i,f_i) \forall[/mm] i
> folgt, dass [mm]|f_i(x)|[/mm] < [mm]p_i(x) \forall[/mm] x [mm]\in \mathbb{R}[/mm] und
> [mm]\forall[/mm] i[mm][/mm]
>
> Bis morgen, wäre es wirklich gut, wenn ich zumindest eine
> klarerer Anschauung bekommen würde.
>
> Bitte helft mir, wenn ihr könnt !
Wenn ich das richtig verstehe, dann wäre doch [mm] $g_i(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (p_i(x) -|f_i(x)|) \in U(p_i,f_i) [/mm] $. Außerdem ist [mm] $g_i\in [/mm] P$. Damit hast du schon mal Kandidaten für ein Basiselement.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
