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| Aufgabe | fa(x)=e^(a*x)
[mm] g(x)=-x^2+2*x
[/mm]
Für welche Werte von a berühren sich der Graph von fa und die Normalparabel? |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich habe im Prinzip zwei Probleme:
Erstens: Meint die Aufgabe mit Normalparabel die gegebene Funktion oder ganz allgemein die Parabelform [mm] x^2?
[/mm]
Zweitens: Kann ich, wenn ich Berührungspunkte ausrechnen soll, einfach die beiden Gleichungen gleichsetzen oder muss ich erst die Anstiege mit m= k*n vergleichen und dann berüheren lassen?
Vielen Dank im Voraus.
Mit freundlichen Grüßen Ricardo
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Hallo Commandante!
Unter der "Normalparabel" verstehe ich auch die Funktion $p(x) \ = \ [mm] x^2$ [/mm] .
Und wenn sich diese beiden Funktionen "berühren" sollen, müssen an der Berührstelle sowohl die Funktionswerte als auch die Ableitungen übereinstimmen:
$p(x) \ = \ [mm] f_a(x)$ $\gdw$ $x^2 [/mm] \ = \ [mm] e^{a*x}$
[/mm]
$p'(x) \ = \ [mm] f_a'(x)$ $\gdw$ [/mm] $2x \ = \ [mm] a*e^{a*x}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Ok, soweit klar. Ich habe also nach a mittels Subtraktion umgestellt:
[mm] e^{a*x}=x^2
[/mm]
e^(a*x)*a=2*x
subtrahiert:
[mm] 0=x^2-(2/a)*x
[/mm]
nach a umgestellt:
a=2/x
Problem: Ich bezweifle, dass das richtig ist weil ich mittels Funktionsplotter rein graphisch andere Berührungspunkte bzw. keine Berührungspunkte zur Antwort erhielt.
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Hallo Commandante!
Du musst mit $a \ = \ [mm] \bruch{2}{x}$ [/mm] nun noch weiterrechnen, indem Du dies z.B. in die 1. Gleichung einsetzt und nach [mm] $x_b [/mm] \ = \ ...$ auflöst.
Gruß vom
Roadrunner
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ok, danke erstmal für die hilfe, doch frag ich mich ob mein ergebnis stimmen kann.
ich setze in:
[mm] e^{a*x}=x^2 [/mm] a=2/x ein
dann erhalte ich:
[mm] e^{(2/x)*x}=x^2
[/mm]
vereinfacht
[mm] e^2=x^2
[/mm]
x=e, aber kann das stimmen?
Gruß ricardo
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Hallo Ricardo!
Klar kann das stimmen  ... es stimmt sogar.
Allerdings hast Du hier noch die 2. Lösung mit [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ e$ unterschlagen.
Schließlich folgt aus [mm] $x^2 [/mm] \ = \ [mm] e^2$ $\gdw$ [/mm] $|x| \ = \ e$ [mm] $\gdw$ $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] e$
Und aus diesen x-Werten kannst Du nun aus [mm] $a_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{x_{1/2}}$ [/mm] die entprechenden Parameterwerte [mm] $a_{1/2}$ [/mm] ermitteln ...
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mo 05.02.2007 | | Autor: | Teufel |
Irgendwie ist die Lösung sehr einfach ;)
Die Parabel hat ihren Scheitel bei y=1. Man kommt sicher beim 1.mal nicht drauf, aber wenn a=0 wäre, würde die Funktion fa [mm] e^0=1 [/mm] heißen :)
Die berührt die Parabel in ihrem Scheitelpunkt.
(Ich bin von der Funktion in der Aufgabenstellung ausgegangen! Das ist meiner Meinung nach auch eine Normalparabel)
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:54 Mo 05.02.2007 | | Autor: | Commandante |
Danke für die Hilfe, hab alles noch einmal geplottet, man sieht es mit den Parametern sehr deutlich.
Ich hatte nur den Denkfehler die ganze Zeit einen Punkt suchen zu müssen, jedoch ist Lösung eine Funktionsschar.
Danke noch einmal
Gruß Ricardo
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