Berührpunkte / Häuf.punkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Sa 10.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen,
ich habe Fragen zum Thema Berührpunkte und Häufungspunkte.
Laut Forster lautet die Definition der beiden wie folgt:
i) Der Punkt a heißt Berührpunkt von A, falls in jeder [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] von a
[mm] U_{\epsilon}(a) [/mm] := [mm] ]a-\epsilon, a+\epsilon[, \epsilon [/mm] > 0,
mindestens ein Punkt von A liegt.
ii) Der Punkt a heißt Häufungspunkt von A, falls in jeder [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] von a unendlich viele Punkt von A liegen.
Nun gibt es ein paar Bemerkungen dazu:
a) a ist genau dann Berührpunkt von A, wenn es eine Folge [mm] (a_n) [/mm] von Punkten [mm] a_n \in [/mm] A mit [mm] lim_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = a gibt.
Ist nämlich die Bedingung i) der Definition erfüllt, so wähle man für jedes n [mm] \ge [/mm] 1 einen Punkt [mm] a_n \in U_{\frac{1}{n}} [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] A. Damit gilt offensichtlich [mm] lim_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = a. Die Umkehrung ist klar.
b) a ist genau dann Häufungspunkt von A, wenn a Berührpunkt von A [mm] \backslash \{a\} [/mm] ist. Dann gibt es nämlich eine Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] von Punkten [mm] a_n \in [/mm] A [mm] \backslash \{a\} [/mm] mit [mm] lim_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = a, und unter diesen Punkten müssen unendlich viele verschiedene sein.
---
Nun zu meinen Fragen:
- Bemerkung a) meine ich verstanden zu haben. Ist die Bedingung i) erfüllt, so gibt es in jeder [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] von a mindestens einen Punkt a [mm] \in [/mm] A. Insbesondere gibt es dann in jeder Umgebung [mm] U_{\frac{1}{n}} [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] A (wobei der Schnitt mit A wichtig ist, dass man wirklich einen Punkt aus der Menge A bekommt) einen Punkt [mm] a_n. [/mm] Da die [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] von a immer kleiner wird, konvergieren die [mm] a_n [/mm] gegen a.
Zur Umkehrung: sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge von Punkten [mm] a_n \in [/mm] A mit [mm] lim_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = a.
Dann liegen in jeder [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] von a wegen der Konvergenz von [mm] (a_n) [/mm] gegen a fast alle Glieder von [mm] (a_n).
[/mm]
Insbesondere gibt es dann in jeder [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] mindestens ein Glied der Folge [mm] (a_n).
[/mm]
Wäre mein Gedankengang bisher korrekt?
- Bemerkung b) verstehe ich nicht ganz.
Was ich verstehe ist, dass wegen Bemerkung a) a genau dann Berührpunkt von
A [mm] \backslash \{a\} [/mm] ist, wenn es eine Folge [mm] (a_n) [/mm] von Punkten [mm] a_n \in [/mm] A [mm] \backslash \{a\} [/mm] mit [mm] lim_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = a gibt.
Aber wieso müssen unter diesen Punkten dann unendlich viele verschiedene sein?
Und Wieso muss es heißen, dass a Berührpunkt von A [mm] \backslash \{a\} [/mm] ist? Würde es nicht auch funktionieren, wenn a Berührpunkt von A ist?
Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar! 
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Sa 10.12.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo zusammen,
>
> ich habe Fragen zum Thema Berührpunkte und
> Häufungspunkte.
> Laut Forster lautet die Definition der beiden wie folgt:
>
> i) Der Punkt a heißt Berührpunkt von A, falls in jeder
> [mm]\epsilon-Umgebung[/mm] von a
>
> [mm]U_{\epsilon}(a)[/mm] := [mm]]a-\epsilon, a+\epsilon[, \epsilon[/mm] > 0,
>
> mindestens ein Punkt von A liegt.
>
> ii) Der Punkt a heißt Häufungspunkt von A, falls in jeder
> [mm]\epsilon-Umgebung[/mm] von a unendlich viele Punkt von A
> liegen.
>
>
> Nun gibt es ein paar Bemerkungen dazu:
>
> a) a ist genau dann Berührpunkt von A, wenn es eine Folge
> [mm](a_n)[/mm] von Punkten [mm]a_n \in[/mm] A mit [mm]lim_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm]
> = a gibt.
> Ist nämlich die Bedingung i) der Definition erfüllt, so
> wähle man für jedes n [mm]\ge[/mm] 1 einen Punkt [mm]a_n \in U_{\frac{1}{n}}[/mm]
> (a) [mm]\cap[/mm] A. Damit gilt offensichtlich
> [mm]lim_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = a. Die Umkehrung ist klar.
>
> b) a ist genau dann Häufungspunkt von A, wenn a
> Berührpunkt von A [mm]\backslash \{a\}[/mm] ist. Dann gibt es
> nämlich eine Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] von Punkten [mm]a_n \in[/mm] A
> [mm]\backslash \{a\}[/mm] mit [mm]lim_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = a, und
> unter diesen Punkten müssen unendlich viele verschiedene
> sein.
>
> ---
>
> Nun zu meinen Fragen:
>
> - Bemerkung a) meine ich verstanden zu haben. Ist die
> Bedingung i) erfüllt, so gibt es in jeder
> [mm]\epsilon-Umgebung[/mm] von a mindestens einen Punkt a [mm]\in[/mm] A.
> Insbesondere gibt es dann in jeder Umgebung [mm]U_{\frac{1}{n}}[/mm]
> (a) [mm]\cap[/mm] A (wobei der Schnitt mit A wichtig ist, dass man
> wirklich einen Punkt aus der Menge A bekommt) einen Punkt
> [mm]a_n.[/mm] Da die [mm]\epsilon-Umgebung[/mm] von a immer kleiner wird,
> konvergieren die [mm]a_n[/mm] gegen a.
>
> Zur Umkehrung: sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge von Punkten [mm]a_n \in[/mm] A
> mit [mm]lim_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = a.
> Dann liegen in jeder [mm]\epsilon-Umgebung[/mm] von a wegen der
> Konvergenz von [mm](a_n)[/mm] gegen a fast alle Glieder von [mm](a_n).[/mm]
> Insbesondere gibt es dann in jeder [mm]\epsilon-Umgebung[/mm]
> mindestens ein Glied der Folge [mm](a_n).[/mm]
>
> Wäre mein Gedankengang bisher korrekt?
Ja.
>
>
> - Bemerkung b) verstehe ich nicht ganz.
> Was ich verstehe ist, dass wegen Bemerkung a) a genau
> dann Berührpunkt von
> A [mm]\backslash \{a\}[/mm] ist, wenn es eine Folge [mm](a_n)[/mm] von
> Punkten [mm]a_n \in[/mm] A [mm]\backslash \{a\}[/mm] mit
> [mm]lim_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = a gibt.
>
> Aber wieso müssen unter diesen Punkten dann unendlich
> viele verschiedene sein?
Nimm doch einmal an es seien nur endlich viele verschiedene...
>
> Und Wieso muss es heißen, dass a Berührpunkt von A
> [mm]\backslash \{a\}[/mm] ist? Würde es nicht auch funktionieren,
> wenn a Berührpunkt von A ist?
Nein. Ein Punkt [mm] $a\in [/mm] A$ ist zwar stets Berührpunkt, aber nicht unbedingt ein Häufungspunkt. Falls Dir dazu kein Beispiel einfällt, melde Dich nocheinmal.
>
>
> Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar!
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Sa 10.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo hippias,
danke für's Drüberschauen!
Ich habe mir noch einmal Gedanken gemacht:
>
>
> - Bemerkung b) verstehe ich nicht ganz.
> Was ich verstehe ist, dass wegen Bemerkung a) a genau
> dann Berührpunkt von
> A $ [mm] \backslash \{a\} [/mm] $ ist, wenn es eine Folge $ [mm] (a_n) [/mm] $ von
> Punkten $ [mm] a_n \in [/mm] $ A $ [mm] \backslash \{a\} [/mm] $ mit
> $ [mm] lim_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] $ = a gibt.
>
> Aber wieso müssen unter diesen Punkten dann unendlich
> viele verschiedene sein?
Ist es so, dass weil das Element [mm] \{a\} [/mm] herausgenommen wird und weil [mm] lim_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = a gilt, dass die Folgenglieder sich immer mehr gegen a annähern und somit unterschiedliche Werte annehmen?
Klar könnte es sein dass mal [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] gilt, aber dies darf höchstens für endlich viele Folgenglieder gelten, da ja sonst nicht gelten würde [mm] lim_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = a.
Habe ich das soweit richtig verstanden?
>
> Und Wieso muss es heißen, dass a Berührpunkt von A
> $ [mm] \backslash \{a\} [/mm] $ ist? Würde es nicht auch funktionieren,
> wenn a Berührpunkt von A ist?
Hierzu fällt mir kein Beispiel ein. Ich dachte zunächst an die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n \in [/mm] A und [mm] a_n [/mm] = a. Für die Folge [mm] (a_n) [/mm] gilt ja [mm] lim_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = a, somit wäre a Berührpunkt von A. Allerdings kein Häufungspunkt, da ja [mm] (a_n) [/mm] nur aus einem Folgenglied besteht und somit nicht unendlich viele Folgenglieder besitzt.
Aber eigentlich gilt ja für eine gegen a konvergente Folge [mm] (a_n), [/mm] dass in jeder [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] von a fast alle Folgenglieder [mm] a_n [/mm] liegen, womit ja die Defintion dann wiederum doch gelten würde.
Irgendwie komme ich da nicht auf einen "gemeinsamen Nenner".
Kann mir jemand helfen?
Viele Grüße,
X3nion
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> > - Bemerkung b) verstehe ich nicht ganz.
> > Was ich verstehe ist, dass wegen Bemerkung a) a genau
> > dann Berührpunkt von
> > A [mm]\backslash \{a\}[/mm] ist, wenn es eine Folge [mm](a_n)[/mm] von
> > Punkten [mm]a_n \in[/mm] A [mm]\backslash \{a\}[/mm] mit
> > [mm]lim_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = a gibt.
> >
> > Aber wieso müssen unter diesen Punkten dann unendlich
> > viele verschiedene sein?
>
> Ist es so, dass weil das Element [mm]\{a\}[/mm] herausgenommen wird
> und weil [mm]lim_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = a gilt, dass die
> Folgenglieder sich immer mehr gegen a annähern und somit
> unterschiedliche Werte annehmen?
Hallo,
ja, daran liegt es.
Wären es nur endlich viele Punkte, wäre einer davon am dichtesten an a.
Dann läge kein Folgenglied mehr zwischen diesem dichtesten Punkt und a, und somit würde die Folge nicht gegen a konvergieren.
> Klar könnte es sein dass mal [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] gilt, aber
> dies darf höchstens für endlich viele Folgenglieder
> gelten, da ja sonst nicht gelten würde
> [mm]lim_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = a.
>
> Habe ich das soweit richtig verstanden?
Ich glaube Du hast den casus knacktus erkannt - auch wenn es nicht perfekt formuliert ist.
>
> >
> > Und Wieso muss es heißen, dass a Berührpunkt von A
> > [mm]\backslash \{a\}[/mm] ist? Würde es nicht auch
> funktionieren,
> > wenn a Berührpunkt von A ist?
>
> Hierzu fällt mir kein Beispiel ein. Ich dachte zunächst
> an die Folge [mm](a_n)[/mm] mit [mm]a_n \in[/mm] A und [mm]a_n[/mm] = a. Für die
> Folge [mm](a_n)[/mm] gilt ja [mm]lim_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = a,
> somit wäre a Berührpunkt von A. Allerdings kein
> Häufungspunkt, da ja [mm](a_n)[/mm] nur aus einem Folgenglied
> besteht und somit nicht unendlich viele Folgenglieder
> besitzt.
Betrachten wir [mm] A:=[0,1]\cup\{3\}.
[/mm]
a=3 ist Berührpunkt von A, aber kein Häufungspunkt.
Wir finden überhaupt keine Folge in [mm] A\setminus \{3\}, [/mm] welche gegen a=3 konvergiert.
a=0 hingegen ist Berührpunkt und Häufungspunkt von A, und wir haben kein Problem, eine Folge in [mm] A\setminus \{0\} [/mm] zu finden, welche gegen a=0 konvergiert.
LG Angela
> Aber eigentlich gilt ja für eine gegen a konvergente
> Folge [mm](a_n),[/mm] dass in jeder [mm]\epsilon-Umgebung[/mm] von a fast
> alle Folgenglieder [mm]a_n[/mm] liegen, womit ja die Defintion dann
> wiederum doch gelten würde.
>
> Irgendwie komme ich da nicht auf einen "gemeinsamen
> Nenner".
>
> Kann mir jemand helfen?
>
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:28 Di 13.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo Angela,
danke für deine Antwort, das macht mir jetzt viel mehr Sinn!
> Betrachten wir $ [mm] A:=[0,1]\cup\{3\}. [/mm] $
> a=3 ist Berührpunkt von A, aber kein Häufungspunkt.
> Wir finden überhaupt keine Folge in $ [mm] A\setminus \{3\}, [/mm] $ welche gegen
> a=3 konvergiert.
> a=0 hingegen ist Berührpunkt und Häufungspunkt von A, und wir haben
> kein Problem, eine Folge in $ [mm] A\setminus \{0\} [/mm] $ zu finden, welche gegen > a=0 konvergiert.
Zum Verständnis:
Du hast geschrieben, dass man keine Folge in [mm] A\setminus \{3\} [/mm] findet.
Würde man, wenn man die Einschränkung [mm] A\setminus \{3\} [/mm] nicht machen würde, sonst eine Folge in A finden (nämlich [mm] (a_n) [/mm] = 3) die gegen a konvergiert? Dadurch wäre aber a = 3 nur Berührpunkt und nicht zwingend Häufungspunkt (da [mm] a_n [/mm] ja nicht aus unendlich verschiedenen Folgengliedern bestünde)
Wie wäre es, wenn keine Teilmenge der reellen Zahlengeraden gegeben ist, sondern z.B. die Menge A := [mm] \{ \frac{1}{n}: n\in\IN , n \ge 1 \} [/mm] ? Hier wäre kein a [mm] \in [/mm] A Häufungspunkt, weil es keine Folge [mm] (a_n) \in [/mm] A [mm] \setminus\{a\} [/mm] gibt, die gegen a konvergiert.
In deinem Beispiel ist es mir klar, dass man für jedes a [mm] \in [/mm] A eine Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n \in [/mm] A [mm] \setminus\{a\} [/mm] findet, da ja die Menge A eine Teilmenge der reellen Zahlengeraden ist.
Aber wie schaut es in meinem Beispiel aus, wie würde man das begründen?
Und wie würde es mit Häufungspunkten ausschauen, wenn man das Intervall [0,1] mit 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 und x [mm] \in \Q [/mm] gegeben hätte? Wären hier 0 und 1 Häufungspunkte?
> LG Angela
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:37 Di 13.12.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo Angela,
>
> danke für deine Antwort, das macht mir jetzt viel mehr
> Sinn!
>
> > Betrachten wir [mm]A:=[0,1]\cup\{3\}.[/mm]
>
> > a=3 ist Berührpunkt von A, aber kein Häufungspunkt.
> > Wir finden überhaupt keine Folge in [mm]A\setminus \{3\},[/mm]
> welche gegen
> > a=3 konvergiert.
>
> > a=0 hingegen ist Berührpunkt und Häufungspunkt von A, und
> wir haben
> > kein Problem, eine Folge in [mm]A\setminus \{0\}[/mm] zu finden,
> welche gegen > a=0 konvergiert.
>
> Zum Verständnis:
> Du hast geschrieben, dass man keine Folge in [mm]A\setminus \{3\}[/mm]
> findet.
> Würde man, wenn man die Einschränkung [mm]A\setminus \{3\}[/mm]
> nicht machen würde, sonst eine Folge in A finden (nämlich
> [mm](a_n)[/mm] = 3) die gegen a konvergiert? Dadurch wäre aber a =
> 3 nur Berührpunkt und nicht zwingend Häufungspunkt (da
> [mm]a_n[/mm] ja nicht aus unendlich verschiedenen Folgengliedern
> bestünde)
Richtig.
>
> Wie wäre es, wenn keine Teilmenge der reellen
> Zahlengeraden gegeben ist, sondern z.B. die Menge A := [mm]\{ \frac{1}{n}: n\in\IN , n \ge 1 \}[/mm]
> ?
Das ist eine Teilmenge der reellen Zahlen! Aber egal...
> Hier wäre kein a [mm]\in[/mm] A Häufungspunkt, weil es keine
> Folge [mm](a_n) \in[/mm] A [mm]\setminus\{a\}[/mm] gibt, die gegen a
> konvergiert.
Richtig. Trotzdem hat $A$ den Häufungspunkt $0$, aber dieser liegt nicht in $A$.
> In deinem Beispiel ist es mir klar, dass man für jedes a
> [mm]\in[/mm] A eine Folge [mm](a_n)[/mm] mit [mm]a_n \in[/mm] A [mm]\setminus\{a\}[/mm] findet,
> da ja die Menge A eine Teilmenge der reellen Zahlengeraden
> ist.
> Aber wie schaut es in meinem Beispiel aus, wie würde man
> das begründen?
>
Genauso wie Du es gemacht hast. Beweise es, indem Du zu [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] angibst, sodass [mm] $\left]-\varepsilon+\frac{1}{n},\varepsilon+\frac{1}{n}\right[\cap [/mm] A= [mm] \left\{\frac{1}{n}\right\}$ [/mm] ist.
> Und wie würde es mit Häufungspunkten ausschauen, wenn man
> das Intervall [0,1] mit 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 und x [mm]\in \Q[/mm] gegeben
> hätte? Wären hier 0 und 1 Häufungspunkte?
Die Menge aller Häufungspunkte von $A$ ist die Menge $A$ selber.
>
>
> > LG Angela
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Di 13.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo hippias,
erstmal danke ich dir für deinen Beitrag!
> Das ist eine Teilmenge der reellen Zahlen! Aber egal...
ja klar, blöd formuliert von mir ... ich wollte eigentlich sagen, dass zwischen zwei Elementen (z.B. 1/2 und 1/3) nicht unendlich viele Zahlen liegen.
> Und wie würde es mit Häufungspunkten ausschauen, wenn man
> das Intervall [0,1] mit 0 $ [mm] \le [/mm] $ x $ [mm] \le [/mm] $ 1 und x $ [mm] \in \Q [/mm] $ gegeben
> hätte? Wären hier 0 und 1 Häufungspunkte?
Hier hat es irgendwie etwas verschluckt, es sollte x [mm] \in \IQ [/mm] lauten.
Dann wäre die Menge aller Häufungspunkte aber nicht mehr A selber, oder?
Viele Grüße,
X3nion
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Moin,
> > Das ist eine Teilmenge der reellen Zahlen! Aber egal...
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> ja klar, blöd formuliert von mir ... ich wollte eigentlich
> sagen, dass zwischen zwei Elementen (z.B. 1/2 und 1/3)
> nicht unendlich viele Zahlen liegen.
???
Da liegen unendlich viele Zahlen zwischen...
Achso - Du meinst wohl, daß keine Elemente aus A dazwischen liegen.
>
> > Und wie würde es mit Häufungspunkten ausschauen, wenn
> man
> > das Intervall [0,1] mit 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 und x [mm]\in \Q[/mm]
> gegeben
> > hätte? Wären hier 0 und 1 Häufungspunkte?
>
> Hier hat es irgendwie etwas verschluckt, es sollte x [mm]\in \IQ[/mm]
> lauten.
> Dann wäre die Menge aller Häufungspunkte aber nicht mehr
> A selber, oder?
Wenn ich Dich recht verstehe, möchtest Du die Menge A mit
[mm] A:=[0,1]\cap \IQ [/mm] betrachten.
Sei nun [mm] a\in [/mm] A.
Es liegen doch in jeder Umgebung von a unendlich viele Elemente aus A, unendlich viele rationale Zahlen.
Oder, wenn wir mit Folgen arbeiten wollen:
[mm] a_n:=a+\bruch{1}{n+1} [/mm] oder [mm] b_n:=a-\bruch{1}{n+1} [/mm] ist Folge in [mm] A\{a} [/mm] und konvergiert gegen a.
LG Angela
>
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Mi 14.12.2016 | | Autor: | X3nion |
> Moin,
N'Abend und danke für die Antwort 
> Achso - Du meinst wohl, daß keine Elemente aus A dazwischen liegen.
Ja genau das meine ich, also dass A aus den Elementen 1, 1/2, 1/3, 1/4... besteht
> Wenn ich Dich recht verstehe, möchtest Du die Menge A mit
> [mm] A:=[0,1]\cap \IQ [/mm] $ betrachten.
> Sei nun $ [mm] a\in [/mm] $ A.
> Es liegen doch in jeder Umgebung von a unendlich viele Elemente aus A,
> unendlich viele rationale Zahlen.
> Oder, wenn wir mit Folgen arbeiten wollen:
> [mm] a_n:=a+\bruch{1}{n+1} [/mm] oder [mm] b_n:=a-\bruch{1}{n+1} [/mm] ist Folge in
> [mm] A\backslash\{a\} [/mm] und konvergiert gegen a.
Ja genau die Menge wollte ich betrachten.
Kann man sagen, dass in jeder Umgebung von a unendlich viele Elemente aus A liegen, da [mm] \IQ [/mm] abzählbar unendlich viele Elemente enthält und dies dann auch für das Intervall [0,1] [mm] \cap \IQ [/mm] gilt?
> LG Angela
Viele Grüße,
X3nion
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> > Wenn ich Dich recht verstehe, möchtest Du die Menge A mit
> > [mm]A:=[0,1]\cap \IQ[/mm] $ betrachten.
>
> > Sei nun [mm]a\in[/mm] A.
> > Es liegen doch in jeder Umgebung von a unendlich viele
> Elemente aus A,
> > unendlich viele rationale Zahlen.
>
> > Oder, wenn wir mit Folgen arbeiten wollen:
>
> > [mm]a_n:=a+\bruch{1}{n+1}[/mm] oder [mm]b_n:=a-\bruch{1}{n+1}[/mm] ist Folge
> in
> > [mm]A\backslash\{a\}[/mm] und konvergiert gegen a.
>
> Ja genau die Menge wollte ich betrachten.
> Kann man sagen, dass in jeder Umgebung von a unendlich
> viele Elemente aus A liegen, da [mm]\IQ[/mm] abzählbar unendlich
> viele Elemente enthält und dies dann auch für das
> Intervall [0,1] [mm]\cap \IQ[/mm] gilt?
Hallo,
so wie sie dasteht, scheint mir die Argumentation nicht ganz schlüssig.
Ein wesentlicher Punkt ist, daß A eine zusammenhängende Teilmenge von [mm] \IQ [/mm] ist.
Bei [mm] B:=[0,1]\cap\{2,3\} [/mm] hätte man in der Umgebung von b=3 nicht unendlich viele Punkte aus B.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Fr 16.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen hippias und Angela,
ich danke euch vielmals, ihr beide habt mir einiges verständlicher gemacht!
Das ist wichtig zu verstehen, da es unter anderem bei der Formulierung von Stetigkeit und Differenzierbarkeit braucht.
Viele Grüße,
X3nion
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