Berührpunkt von Graphen < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Mo 15.05.2006 | | Autor: | philo |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion f mit [mm]f(x)= \ \bruch{8}{9} x^2 + \ \bruch{2}{3} x[/mm] sowie für jedes [mm] c\pm0 [/mm] die Funktion [mm]g_c[/mm] mit [mm]g_c(x)= cx^2 +c[/mm]. Bestimmen Sie c so, dass sich die Graphen von f und [mm]g_c[/mm] berühren. Ermitteln Sie auch den Berührpunkt. |
Ich sitze nun schon eine Weile an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Auch ein Blick auf die Lösung dieser Aufgabe brachte mich nicht weiter (c=1 mit dem Berührpunkt B (3|10); c=[mm]\ -\bruch{1}{9}[/mm] mit dem Berührpunkt B mit dem Berührpunkt B ([mm]\ -\bruch{1}{3}[/mm]|[mm]\ -\bruch{10}{81}[/mm])).
Durch eine Zufallsrechnung bin ich auf den Berührpunkt gekommen, wobei ich nicht glaube, dass dies der richtige Weg war und mit dieser "Rechnung" der Wert bzw die Werte für c dann immer noch fehlen.
Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen.
Freundliche Grüße
Philo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo philo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wenn sich zwei Funktionsgraphen berühren sollen, müssen an den Berührstellen [mm] $x_b$ [/mm] sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungswerte (sprich: die Ableitungen) übereinstimmen.
Also: [mm] $f(x_b) [/mm] \ = \ [mm] g_c(x_b)$ [/mm] und [mm] $f'(x_b) [/mm] \ = \ [mm] g_c'(x_b)$
[/mm]
Aus der Gleichung der Ableitung kannst Du nun z.B. nach $c \ = \ ...$ umstellen und in die andere Gleichung einsetzen.
Kommst Du damit nun weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mo 15.05.2006 | | Autor: | philo |
Hi und Danke für den Tip.
Ich habe nun aus der Gleichung der Ableitungen nach c aufgelöst:
[mm] \bruch{16}{9}[/mm] x + [mm] \bruch{2}{3}[/mm] = 2cx
[mm] \bruch{8}{9}[/mm] + [mm] \bruch{1}{3x}[/mm] = c
Diesen Wert habe ich in die Anfangsgleichung eingesetzt und zum Schluss nur noch [mm] \bruch{8}{9}[/mm] stehen. Ich glaube, dass ich irgendetwas falsch gemacht habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo philo!
> [mm]\bruch{16}{9}[/mm] x + [mm]\bruch{2}{3}[/mm] = 2cx
> [mm]\bruch{8}{9}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3x}[/mm] = c
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Diesen Wert habe ich in die Anfangsgleichung eingesetzt und
> zum Schluss nur noch [mm]\bruch{8}{9}[/mm] stehen. Ich glaube, dass
> ich irgendetwas falsch gemacht habe.
Da musst du wirklich etwas falsch gemacht haben! Ich erhalte unmittlebr nach dem Einsetzen:
[mm] $\bruch{8}{9}x^2+\bruch{2}{3}x [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8}{9}x^2+\bruch{1}{3}x+\bruch{8}{9}+\bruch{1}{3x}$
[/mm]
Das ergibt dann schnell: [mm] $\bruch{1}{3}x [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8}{9}+\bruch{1}{3x}$
[/mm]
Wie hast Du denn dann weiter gerechnet?
Multipliziere diese Gleichung nun mit $3x_$ ...
Gruß
Loddar
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