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| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=\bruch{8}{9}x^{2}+\bruch{2}{3}x [/mm] sowie für jedes c [mm] \not= [/mm] 0 die Funktion [mm] g_{c} [/mm] mit [mm] g_{c}(x)=cx^{2}+c. [/mm] Bestimmen sie c so, dass sich die Graphen von f und g berühren. Ermitteln Sie auch den Berührpunkt. |
Hallo zusammen!
Also irgendwie weiß ich nicht mehr so ganz wie ich den Berührpunkt berechnen. Ich hätte jetzt erst mal f(x) und g(x) gleichgesetzt und im nächsten Schritt f'(x) = g'(x) da sie ja in diesem Punkt dieselbe Steigung haben müssen?
Mein Problem ist erst einmal das c, also:
f(x) = g(x)
[mm] \bruch{8}{9}x^{2}+\bruch{2}{3}x [/mm] = [mm] cx^{2}+c
[/mm]
[mm] \bruch{8}{9}x^{2}+\bruch{2}{3}x [/mm] - [mm] cx^{2}-c [/mm] = 0
und wie rechne ich jetzt weiter?
liebe grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Mi 06.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Funktion f mit
> [mm]f(x)=\bruch{8}{9}x^{2}+\bruch{2}{3}x[/mm] sowie für jedes c
> [mm]\not=[/mm] 0 die Funktion [mm]g_{c}[/mm] mit [mm]g_{c}(x)=cx^{2}+c.[/mm] Bestimmen
> sie c so, dass sich die Graphen von f und g berühren.
> Ermitteln Sie auch den Berührpunkt.
> Hallo zusammen!
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> Also irgendwie weiß ich nicht mehr so ganz wie ich den
> Berührpunkt berechnen. Ich hätte jetzt erst mal f(x) und
> g(x) gleichgesetzt und im nächsten Schritt f'(x) = g'(x)
> da sie ja in diesem Punkt dieselbe Steigung haben müssen?
>
> Mein Problem ist erst einmal das c, also:
>
> f(x) = g(x)
>
> [mm]\bruch{8}{9}x^{2}+\bruch{2}{3}x[/mm] = [mm]cx^{2}+c[/mm]
>
> [mm]\bruch{8}{9}x^{2}+\bruch{2}{3}x[/mm] - [mm]cx^{2}-c[/mm] = 0
>
> und wie rechne ich jetzt weiter?
Bemühe die Gleichung f'(x) = g'(x)
FRED
>
> liebe grüße
>
>
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f'(x) [mm] =\bruch{16}{9}x [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
g'(x)= 2cx
f' = g'
[mm] \bruch{16}{9}x [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] =2cx
[mm] \bruch{16}{9}x [/mm] -2cx = 0
[mm] \bruch{16}{9}x [/mm] -2cx = - [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
x-2cx= [mm] -\bruch{3}{8}
[/mm]
x+cx= [mm] \bruch{3}{16}
[/mm]
2x= [mm] \bruch{3}{16} \c
[/mm]
x [mm] =\bruch{3}{16} [/mm] * [mm] \bruch{2}{c} [/mm] = [mm] \bruch{6}{16c}
[/mm]
mhmm das sieht mir irgendwie nicht richtig aus, oder?
Aber wenn ich das doch jetzt habe ist das meine Steigung in Abhängigkeit von c, richtig? Müsste ich das jetzt in [mm] g_{c}(x) [/mm] einsetzten, oder wie gehe ich weiter vor?
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Hallo A_to_the_T!
> f'(x) [mm]=\bruch{16}{9}x[/mm] + [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> g'(x)= 2cx
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\bruch{16}{9}x[/mm] -2cx = - [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> x-2cx= [mm]-\bruch{3}{8}[/mm]
Was hast Du hier wie gerechnet? Du musst auch den zweiten Term auf der linken Seite durch [mm] $\bruch{16}{9}$ [/mm] teilen.
> x+cx= [mm]\bruch{3}{16}[/mm]
Hier derselbe Fehler wie oben.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Mi 06.04.2011 | | Autor: | abakus |
> > Gegeben ist die Funktion f mit
> > [mm]f(x)=\bruch{8}{9}x^{2}+\bruch{2}{3}x[/mm] sowie für jedes c
> > [mm]\not=[/mm] 0 die Funktion [mm]g_{c}[/mm] mit [mm]g_{c}(x)=cx^{2}+c.[/mm] Bestimmen
> > sie c so, dass sich die Graphen von f und g berühren.
> > Ermitteln Sie auch den Berührpunkt.
> > Hallo zusammen!
> >
> > Also irgendwie weiß ich nicht mehr so ganz wie ich den
> > Berührpunkt berechnen. Ich hätte jetzt erst mal f(x) und
> > g(x) gleichgesetzt und im nächsten Schritt f'(x) = g'(x)
> > da sie ja in diesem Punkt dieselbe Steigung haben müssen?
> >
> > Mein Problem ist erst einmal das c, also:
> >
> > f(x) = g(x)
> >
> > [mm]\bruch{8}{9}x^{2}+\bruch{2}{3}x[/mm] = [mm]cx^{2}+c[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{8}{9}x^{2}+\bruch{2}{3}x[/mm] - [mm]cx^{2}-c[/mm] = 0
> >
> > und wie rechne ich jetzt weiter?
>
> Bemühe die Gleichung f'(x) = g'(x)
>
...oder forme
[mm]\bruch{8}{9}x^{2}+\bruch{2}{3}x[/mm] - [mm]cx^{2}-c[/mm] = 0
weiter um zu
[mm]\bruch{8-9c}{9}*x^{2}+\bruch{2}{3}x[/mm] -c= 0
[mm]x^{2}+\bruch{9}{8-9c}*\bruch{2}{3}x[/mm] [mm] -\bruch{9}{8-9c}c= [/mm] 0
Bilde die Diskriminante und untersuche, für welches c es genau eine Lösung gibt.
Gruß Abakus
> FRED
> >
> > liebe grüße
> >
> >
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