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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Bernoullische DGL
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Bernoullische DGL: Korrekturlesung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Mo 24.11.2008
Autor: Marcel08

Aufgabe
(Bernoullische Differentialgleichung)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Bernoullischen Differentialgleichung

[mm] y^{,}+y=y^{3}sin(x). [/mm]

Geben Sie außerdem die Lösung zur Anfangsbedingung [mm] y(2\pi)=\wurzel{\bruch{5}{7}} [/mm] an.

Hallo liebe Matheraum- Community,

über ein kurzes Feedback hinsichtlich meines Zwischenergebnisses würde ich mich sehr freuen. Möglicherweise hat sich dort ein Fehler eingeschlichen, da sich sonst die zu ermittelnde Lösung der Anfangsbedingung nur sehr umständlich berechnen lässt, was meiner Meinung nicht richtig wäre.



1.) Zunächst führe ich die Bernoulli DGL auf eine lineare DGL 1. Ordnung zurück:


[mm] y^{,}+y=y^{3}sin(x), [/mm] mit f(x)=1 gemäß [mm] y^{,}+f(x)y=r(x)y^{a} ,(a\not=0,1) [/mm]


der Ansatz gemäß [mm] u=y^{1-a} [/mm] sowie [mm] u^{,}=(1-a)y^{-a}y^{,} [/mm] liefert:


[mm] u=y^{-2}, u^{,}=-2y^{-3}y^{,}´ [/mm]



2.) Die lineare DGL 1. Ordnung gemäß [mm] (u^{,}+(1-a)f(x)u=(1-a)r(x) [/mm] lautet:


[mm] u^{,}-2u=-2sin(x) [/mm]


[mm] u_{H}=e^{2x}ce^{2c} [/mm] und [mm] u_{S}=-\bruch{1}{5}(cos(x)+2sin(x))+ce^{2x} [/mm]



3.) für [mm] u=u_{H}+u_{S} [/mm] erhalte ich dann:


[mm] e^{2x}c(e^{2c}-\bruch{1}{5}(cos(x)+2sin(x)) [/mm]




Vielleicht könnte mir jemand sagen, ob es soweit stimmt, oder wo sich eventuell ein Fehler befindet. Vielen Dank für eure Bemühungen. Gruß,



Marcel

        
Bezug
Bernoullische DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Mo 24.11.2008
Autor: MathePower

Hallo Marcel08,

> (Bernoullische Differentialgleichung)
>  Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Bernoullischen
> Differentialgleichung
>  
> [mm]y^{,}+y=y^{3}sin(x).[/mm]
>  
> Geben Sie außerdem die Lösung zur Anfangsbedingung
> [mm]y(2\pi)=\wurzel{\bruch{5}{7}}[/mm] an.
>  Hallo liebe Matheraum- Community,
>  
> über ein kurzes Feedback hinsichtlich meines
> Zwischenergebnisses würde ich mich sehr freuen.
> Möglicherweise hat sich dort ein Fehler eingeschlichen, da
> sich sonst die zu ermittelnde Lösung der Anfangsbedingung
> nur sehr umständlich berechnen lässt, was meiner Meinung
> nicht richtig wäre.
>  
>
>
> 1.) Zunächst führe ich die Bernoulli DGL auf eine lineare
> DGL 1. Ordnung zurück:
>  
>
> [mm]y^{,}+y=y^{3}sin(x),[/mm] mit f(x)=1 gemäß [mm]y^{,}+f(x)y=r(x)y^{a} ,(a\not=0,1)[/mm]
>  
>
> der Ansatz gemäß [mm]u=y^{1-a}[/mm] sowie [mm]u^{,}=(1-a)y^{-a}y^{,}[/mm]
> liefert:
>
>
> [mm]u=y^{-2}, u^{,}=-2y^{-3}y^{,}´[/mm]
>  
>
>
> 2.) Die lineare DGL 1. Ordnung gemäß
> [mm](u^{,}+(1-a)f(x)u=(1-a)r(x)[/mm] lautet:
>  
>
> [mm]u^{,}-2u=-2sin(x)[/mm]
>  
>
> [mm]u_{H}=e^{2x}ce^{2c}[/mm] und
> [mm]u_{S}=-\bruch{1}{5}(cos(x)+2sin(x))+ce^{2x}[/mm]
>  
>


Hier ist nur

[mm]\integral_{}^{}{e^{-2x}*\sin\left(x\right) \ dx}[/mm]

berechnet worden.

Richtigerweise muß berechnet werden:

[mm]\red{-2}*\integral_{}^{}{e^{-2x}*\sin\left(x\right) \ dx}[/mm]


Die Lösung der DGL für u ergibt sich dann zu:

[mm]u\left(x\right)=c*e^{2x}\red{-2}*\integral_{}^{}{e^{-2x}*\sin\left(x\right) \ dx}[/mm]


>
> 3.) für [mm]u=u_{H}+u_{S}[/mm] erhalte ich dann:
>  
>
> [mm]e^{2x}c(e^{2c}-\bruch{1}{5}(cos(x)+2sin(x))[/mm]
>  
>
>
>
> Vielleicht könnte mir jemand sagen, ob es soweit stimmt,
> oder wo sich eventuell ein Fehler befindet. Vielen Dank für
> eure Bemühungen. Gruß,
>  
>
>
> Marcel


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Bernoullische DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Mo 24.11.2008
Autor: Marcel08

Ich danke dir. Schon erstaunlich wie ihr so unscheinbare Fehler in windeseile entdeckt. :-) Gruß,



Marcel

Bezug
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