Bernoulli Ungleichungskette < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mi 30.10.2013 | | Autor: | gsracer |
| Aufgabe | Für alle n element R: 2 <= [mm] (1+1/n)^n [/mm] <= (1+1/(n+1))^(n+1)
Zeigen Sie zunächst: [mm] (1-(1/(n+1)^2)^{n+1} [/mm] >= 1-1/(n+1) |
Hallo,
ich muss diese Aufgabe lösen, nur ich weiß nicht wie man die Ungleichungskette auflöst.
Mein Ansatz wäre gewesen, dass ich daraus zwei Ungleichungen mache, daraus dann folgere dass sie immer größer gleich 2 sind und daraus eine Ungleichung mache, aber das funktioniert nicht. ich soll aus der Bernoulli Ungleichung Folgern.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir jemand Tipps geben?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Do 31.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du denn mal die B.U, angewendet? was folgt dadurch für die linke Ungleichung? was für die Tip Ungleichung. Bitte zeige was du bisher versucht hast.
dass du das in 2 Ungl. teilst ist das richtige Vorgehen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Do 31.10.2013 | | Autor: | gsracer |
ich habe jetzt mal was hochgeladen, aber es stimmt sowieso nicht. ich bräuchte einen Ansatz. ich weiß zwar das für alle [mm] n\in\IN [/mm] die Ugleichungskette immer (!!!) größer gleich 2 ist, aber wie kommt man auf die Umformung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Do 31.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Datei ist freigegeben, entsprechend habe ich auch nochmal den Fragestatus
auf halb beantwortet gesetzt, weil Du ja nun quasi selbst die alte Frage
aktualisiert hast. 
Gruß,
marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Do 31.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für alle n element R: 2 <= [mm](1+1/n)^n[/mm] <= (1+1/(n+1))^(n+1)
setze [mm] $a_n:=(1\;+\;1/n)^n$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$ [/mm] (mit $0 [mm] \notin \IN$). [/mm] Begründe:
Alle [mm] $a_n$ [/mm] sind $> [mm] 0\,.$ [/mm] Daher gilt (für jedes natürliche [mm] $n\,$)
[/mm]
[mm] $a_{n}\;\le\;a_{n+1}$ $\iff$ $\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \ge 1\,.$
[/mm]
(Übrigens kann man hier jedes [mm] $\le$ [/mm] sogar durch [mm] $<\,$ [/mm] ersetzen.)
Daher kannst Du Dir mal
[mm] $a_{n+1}/a_n$
[/mm]
angucken und gucken, ob Du beweisen kannst, dass dieser Quotient (stets)
[mm] $\ge [/mm] 1$ ist. (Wenn Du "spicken" willst: ![[]](/images/popup.gif) Beispiel 5.13).
Wenn Du das hast, dann ist die erste Ungleichung trivial, sie folgt dann,
weil für jedes $n [mm] \in \IN$
[/mm]
[mm] $a_1\;\le\;a_n$ [/mm]
gilt.
> Zeigen Sie zunächst: [mm](1-(1/(n+1)^2)^{n+1}[/mm] >= 1-1/(n+1)
Dieses "Hilfsmittel" ist wiederum ziemlich trivial: Das folgt sofort mit
Bernoulli:
[mm] $(1-\tfrac{1}{(n+1)^2})^{n+1}\;\ge\;1-\tfrac{n+1}{(n+1)^2}=...$
[/mm]
(Beachte: Wenn [mm] $(1+x)^n \ge [/mm] 1+nx$ für jedes $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] und $x [mm] \ge [/mm] -1$ gilt,
dann insbesondere auch für [mm] $x=x_n=\;-\;\frac{1}{(n+1)^2} \ge -1\,.$)
[/mm]
Ich lasse die Frage mal weiter auf halb beantwortet, weil ich mir Dein
Selbstgeschriebenes noch nicht angeguckt habe, aber Du sicher willst, dass
da auch noch jemand mal drüberguckt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Do 31.10.2013 | | Autor: | gsracer |
ja aber ich soll doch von der Ungleichungskette auf den Hinweis kommen?
Wenn ich die 3.Binomische Formel verwende, dann ist das doch eher schlecht, weil ich doch von Bernoulli gleich zu dem rechten Term komme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Do 31.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ja aber ich soll doch von der Ungleichungskette auf den
> Hinweis kommen?
das macht doch keinen Sinn: Du sollst den Hinweis beweisen, und dann
soll er im Beweis der eigentlichen Ungleichungskette verwendet werden.
Anders gesagt: Beweise mithilfe des Hinweises die Ungleichungskette
(und nicht "beweise mithilfe der Ungleichungskette den Hinweis")!
> Wenn ich die 3.Binomische Formel verwende, dann ist das
> doch eher schlecht, weil ich doch von Bernoulli gleich zu
> dem rechten Term komme?
Wo und warum willst Du die 3e binomische Formel anwenden? Ich habe
Dir geschrieben, dass mit Bernoulli direkt die Behauptung im Hinweis folgt!
P.S. Deswegen heißen "Hinweise" auch Hinweise: Sie sind als "Hilfsmittel"
zur Lösung der eigentlichen Aufgabe gedacht. Und nicht als weitere
Schlussfolgerung, die man ziehen kann, wenn man die Aufgabe schon
gelöst hat! (Solche "Zusatzaufgaben" sieht man auch nicht selten, dann
steht aber eher sowas da: Folgern Sie mithilfe des Ergebnisses aus
Aufgabe..., dass gilt: ...!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Do 31.10.2013 | | Autor: | gsracer |
Hey,
danke für deine Hinweise. Jetzt hab ich zumindest die Reihenfolge der Bearbeitung verstanden.
Also dann mache ich mal folgendes:
Ich nehme die Ungleichung bei dem Beweis:
Zeige mit HIlfe von Bernoulli, dass die Ungleichung für n>0 erfüllt ist.
Dann forme ich die Ungleichung so um, dass ich sie passend bei der UNgleichungskette einsetzen kann. Dann verwende ich Bernoulli nochmals.
Ist diese Vorgehensweise richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Do 31.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey,
>
> danke für deine Hinweise. Jetzt hab ich zumindest die
> Reihenfolge der Bearbeitung verstanden.
>
> Also dann mache ich mal folgendes:
>
> Ich nehme die Ungleichung bei dem Beweis:
> Zeige mit HIlfe von Bernoulli, dass die Ungleichung für
> n>0 erfüllt ist.
genau, im Wesentlichen habe ich das ja schon erledigt (da muss man nur
noch kürzen).
> Dann forme ich die Ungleichung
Mit den von mir erwähnten [mm] $a_n$:
[/mm]
Was genau meinst Du? Ich würde anfangen, [mm] $a_n/a_{n+1}$ [/mm] auszuschreiben und
möglichst weit (äquivalent) umzuformen, bis ich zu einer Abschätzung
komme, wo mir der Hinweis weiterhilft, "passend" abzuschätzen.
Machen wir mal ein anderes Beispiel:
Behauptet wird [mm] $n^2 \le 2^n$ [/mm] für alle natürlichen $n [mm] \ge 4\,.$ [/mm] Naheliegend wäre
hier ein Induktionsbeweis, den Induktionsanfang erspare ich mir. Im
Induktionsschritt will man zu
[mm] $(\star)$ $(n+1)^2\;\le\;2^{n+1}$
[/mm]
gelangen (bei Deiner Aufgabe willst Du [mm] $a_n/a_{n+1} \le [/mm] 1$ begründen).
Jetzt kann ich natürlich [mm] $(\star)$ [/mm] äquivalent umschreiben:
[mm] $(\star)$ $\iff$ $n^2+2n+1\;\le\;2*2^n$ $\iff$ $\red{2n+1\;\le\;2^n+(2^n-n^2)}\,.$
[/mm]
Wenn ich letzteres zeige, dann liefern mir die Folgerungen [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] der [mm] $\iff$'s [/mm] die
Behauptung.
Hier habe ich jetzt das Wissen (I.V.), dass aber
[mm] $n^2 \le 2^n$
[/mm]
gilt. Wenn ich das nun benutze, so weiß ich folgendes:
Aus [mm] $n^2 \le 2^n$ [/mm] (das GILT (für unser $n [mm] \ge [/mm] 4$)) folgt
[mm] $2^n-n^2 \ge 0\,.$
[/mm]
Wenn ich nun einen Blick auf die rote Ungleichung werfe, so sehe ich damit,
dass es hier HINREICHEND ist, für alle $n [mm] \ge [/mm] 4$ die Ungleichung
[mm] $2n+1\;\le\;2^n$
[/mm]
zu beweisen.
Warum? Naja, wenn man für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 4$ nun $2n+1 [mm] \le 2^n$ [/mm] weiß,
so folgt mit [mm] $2^n-n^2 \ge [/mm] 0$ dann natürlich
[mm] $2n+1\;=\;(2n+1)+\blue{0}\;\le\;(2^n)+(\blue{2^n-n^2})\,.$
[/mm]
Und jemand, der die Aufgabe so gelöst hätte haben wollen, würde dann
die Aufgabe so formulieren:
Beweisen Sie
[mm] $n^2 \le 2^n$ [/mm] für alle $n [mm] \ge 4\,.$
[/mm]
Hinweis (für den Induktionsschritt): Beweisen Sie zunächst
[mm] $2n+1\;\le\;2^n$ [/mm] für alle natürlichen $n [mm] \ge 4\,.$
[/mm]
Das heißt: Meist formt man um und schätzt ab, bis man an eine Stelle
kommt, wo man sich überlegen muß, was denn nun "hinreichend ist,
um den Beweis zu vervollständigen". (Beachte bitte, dass man keine
Gleichwertigkeit braucht!)
Und meist hat der Aufgabensteller da schon Vorarbeit geleistet und
liefert diesbezüglich einen Hinweis. Was aber nicht heißt, dass Du evtl.
eine Aufgabe auch anders lösen kannst, ohne einen Hinweis/ohne
Zusätzliches zu verwenden/beweisen, oder, was auch passieren kann,
ist, dass Du irgendwo "nicht zielführend" vorgehst, so dass Du an keiner
Stelle den Hinweis gebrauchen kannst. Das hängt aber oft auch davon
ab, wie "kompliziert" eine solche Aufgabe ist...
P.S. Mal ein anderes Beispiel:
Nehmen wir an, Du wolltest
$x+1/x [mm] \ge [/mm] 1$
für $x > [mm] 0\,$ [/mm] beweisen, weil Du das irgendwo brauchst. Jetzt formst Du äquivalent
um:
$x+1/x [mm] \ge [/mm] 1$ [mm] $\iff$ $x^2-x+1 \ge 0\,.$
[/mm]
(Das kann man natürlich jetzt auch beweisen, indem man geeignet umformt,
etwa mit quadratischer Ergänzung etc. pp., aber wir machen es anders!)
Jetzt braucht man ein geschultes oder wissendes Auge, mit welchem einem
auffällt:
Wenn $r > [mm] 0\,$ [/mm] ist, dann haben wir (das kannst Du allerdings analog nachrechnen)
[mm] $(\*\*)$ [/mm] $x+1/x [mm] \ge \red{r}$ $\iff$ $x^2-\red{r}x+1 \ge 0\,.$
[/mm]
Und jetzt kommt das wirklich Schöne ins Spiel:
Wenn wir speziell [mm] $r=2\,$ [/mm] einsetzen und dann zeigen können, dass für [mm] $r=2\,$
[/mm]
die Ungleichung [mm] $(\*\*)$ [/mm] gilt, dann gilt sie auch für alle [mm] $(0\,<\;)$ [/mm] $r [mm] \le 2\,,$ [/mm] insbesondere
also auch für [mm] $r=1\,.$ [/mm] Deswegen ist es hier hinreichend für
$x+/1x [mm] \ge 1\,,$
[/mm]
dass man
$x+1/x [mm] \ge [/mm] 2$
beweist - und letzteres ist insofern gut, als dass der Beweis dafür recht
"ersichtlich" ist!
Hier könnte also die Aufgabe lauten:
Beweisen Sie für alle $x > [mm] 0\,$ [/mm] die Abschätzung
$x+1/x [mm] \ge 1\,.$
[/mm]
Hinweis: Es ist leicht
$x+1/x [mm] \ge [/mm] 2$
einzusehen. Sie können auch diese (stärkere) Ungleichung beweisen und
daraus dann die behauptete Ungleichung folgern [mm] ($\ge$ [/mm] ist transitiv).
(Edit: Anstatt [mm] $a_n/a_{n+1}\;\; (\le [/mm] 1)$ meinte ich eigentlich überall [mm] $a_{n+1}/a_n \;\; (\ge [/mm] 1)$, ich
korrigiere das mal überall. Auch, wenn es eigentlich keinen wesentlichen
Unterschied machen kann...)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Do 31.10.2013 | | Autor: | gsracer |
sry ich glaube ich bin zu dumm dafür
die frage lautet ja:
Für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
2<=.....Die Ungleichungskette.....
(hinweis: Zeigen sie zunächst "die Ungleichung" und verwenden sie die 3.binomische Formel)
Ich verstehe was du meinst, aber ich kann es einfach nicht in meinen Fall anwenden.
ich sollte halt als Folgerungen der Bernoulli UNgleichung folgern bzw beweisen.
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Bin. Formel ist einfacher als Bernoulli:
$ [mm] (1-\bruch{1}{(n+1)^2})^{n+1} [/mm] = [mm] ((1-\bruch{1}{(n+1)})*(1+\bruch{1}{(n+1)}))^{n+1} [/mm] = [mm] (1-\bruch{1}{(n+1)})^{n+1}*(1+\bruch{1}{(n+1)})^{n+1}>(1-\bruch{1}{(n+1)})^{n+1}*1^{n+1}=(1-\bruch{1}{(n+1)})^{n+1} [/mm] $
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 01:09 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bin. Formel ist einfacher als Bernoulli:
>
> [mm](1-\bruch{1}{(n+1)^2})^{n+1} = ((1-\bruch{1}{(n+1)})*(1+\bruch{1}{(n+1)}))^{n+1} = (1-\bruch{1}{(n+1)})^{n+1}*(1+\bruch{1}{(n+1)})^{n+1}>(1-\bruch{1}{(n+1)})^{n+1}*1^{n+1}=(1-\bruch{1}{(n+1)})^{n+1}[/mm]
der "Fehler" dabei ist nur, dass das nicht die Ungleichung ist, die gezeigt werden
soll:
Es soll
[mm] $(1-\tfrac{1}{(n+1)^2})^{n+1} \ge 1-\tfrac{1}{n+1}$
[/mm]
gezeigt werden. Und leider ist nun mal
[mm] $(1-\tfrac{1}{n+1})^{\red{n+1}} \le 1-\tfrac{1}{n+1}\,,$
[/mm]
(weil der nichtnegative Term in der Klammer < 1 ist!), so dass die von Dir
gezeigte Ungleichung "zu schwach" ist. (Man hätte ja vielleicht noch die
Hoffnung, die Transitivität von [mm] $\;\ge\;$ [/mm] auszunutzen... aber das erledigt
sich hiermit leider auch!)
P.S. Ich habe das vor allem sofort gesehen, weil ich den gleichen Fehler
schon genauso gemacht hatte und dachte: "Geht doch auch mit 3er bin.
Formel".
Aber da hat man doch 'nen Exponenten zuviel.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 So 03.11.2013 | | Autor: | gsracer |
Aber es steht doch dorten, dass man die dritte binomische Formel benutzen soll???
Ich komme bei der Aufgabe leider nicht weiter.
könnte jemand bitte so nett sein und die ansätze reinstellen.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 So 03.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
HJKweseleit hat dir doch geschrieben, wie du die bin.F benutzen kannst?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 So 03.11.2013 | | Autor: | gsracer |
marcel sagt aber, dass die 3.bin. Formel falsch sei
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 So 03.11.2013 | | Autor: | leduart |
Marcel sagt nicht, dass sie falsch ist!
er gibt dir genau vor, wie du vorgene sollst und dass du den Hinweis erst nach einigen Umformungen benutzen sollst. warum gehst du nicht mal so vor, wie er sagt.?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 So 03.11.2013 | | Autor: | gsracer |
ich habs =)
Vielen Vielen Dank =))
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Do 31.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für alle n element R: 2 <= [mm](1+1/n)^n[/mm] <= (1+1/(n+1))^(n+1)
da steht übrigens sicher "Für alle $n [mm] \in \red{\IN}$", [/mm] oder?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Do 31.10.2013 | | Autor: | gsracer |
ja hab mich verschrieben sorry.
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