www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Bernoulli Schätzer
Bernoulli Schätzer < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bernoulli Schätzer: Binomialkoeffizient
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:28 Mi 08.01.2020
Autor: magics

Aufgabe
Gegeben ist ein Bernoulli Experiment mit Ereignis $A$ und Gegenereignis [mm] $\overline{A}$. [/mm] D.h., dass bei bei n-facher Ausführung die Gesamtwahrscheinlichkeit für x-maligen Erfolg (also Ereignis $A$) wie folgt lautet:

$f(x) = [mm] $\vektor{n \\ k}p^x(1-p)^{n-k} [/mm]

Zu berechnen ist ein Schätzer für den Parameter $p$.

Hallo,

ich habe die Rechnung und das Ergebnis [mm] ($\hat{p} [/mm] = [mm] \bruch{k}{n}$) [/mm] bereits vorliegen. Was ich nicht verstehe ist, dass in der Definition der Bernoulliverteilung der Binomialkoffizient [mm] $\vektor{n \\ k}$ [/mm] enthalten ist und bei der Berechnung des Schätzer vom Autor einfach weggelassen wurde.

Der Autor beginnt (O-Ton):

Da das Ereignis $A$ dabei jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p, das komplementäre Ereignis [mm] $\overline{A}$ [/mm] dagegen jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $q = 1 - p$ eintritt. ist die Gesamtwahrscheinlichkeit für k-mal Erfolg (Ereignis $A$) und (n - k)-mal Misserfolg (Ereignis [mm] $\overline{A}$) [/mm] durch das Produkt

[mm] $p^kq^{n-k} [/mm] = [mm] p^k(1-p)^{n-k}$ [/mm]

gegeben.


Aus diesem Ausdrück leitet der Autor direkt die Likelihood Funktion ab. Warum darf man hier [mm] $\vektor{n \\ k}$ [/mm] weglassen?

Gruß
Thomas

        
Bezug
Bernoulli Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Mi 08.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Gegeben ist ein Bernoulli Experiment mit Ereignis [mm]A[/mm] und
> Gegenereignis [mm]\overline{A}[/mm]. D.h., dass bei bei n-facher
> Ausführung die Gesamtwahrscheinlichkeit für x-maligen
> Erfolg (also Ereignis [mm]A[/mm]) wie folgt lautet:
>  
> [mm]f(x) =[/mm][mm] \vektor{n \\ k}p^x(1-p)^{n-k}[/mm]

Da ist ja einiges durcheinander gegangen… du musst dich mal entscheiden, ob du $x$ oder $k$ als Anzahl der Auftritte nehmen willst.
Hast du x, ist es:
[mm] \vektor{n \\ x}p^x(1-p)^{n-x}[/mm]

Nimmst du k, bekommst du entsprechend
[mm] \vektor{n \\ k}p^k(1-p)^{n-k}[/mm]

Aber bitte nicht mischen…

> ich habe die Rechnung und das Ergebnis ([mm]\hat{p} = \bruch{k}{n}[/mm])
> bereits vorliegen. Was ich nicht verstehe ist, dass in der
> Definition der Bernoulliverteilung der Binomialkoffizient
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] enthalten ist

Ist es nicht.
Die Definition oben ist keine []Bernoulliverteilung sondern eine []Binomialverteilung, da die Summe von Bernoulliverteilungen binomialverteilt ist.

Warum kann ich eine mehrfache Ausführung von Bernoulli-Experimenten als Summe modellieren?
Ganz einfach: ich betrachte [mm] $X_i [/mm] = [mm] 1_A$, [/mm] d.h. die Zufallsvariable, die 1 ist, wenn A eingetreten ist und 0 sonst.
Dann ist [mm] X_i [/mm] Bernoulli-Verteilt, wenn A es ist und die Anzahl der Auftritte von A ist dann einfach [mm] $\summe_{i=1}^n X_i$ [/mm]

Und diese Summe ist nun binomialverteilt. Warum?
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Versuchen exakt k-mal A bei vorher bestimmten Experimenten eintritt, ist: [mm] $p^k(1-p)^{n-k}$ [/mm]

"vorher bestimmten Experimenten" meint halt, dass man sich die k Experimente, bei denen A auftreten soll, vorher festlegt bspw. "alle k Auftritte waren zu Beginn" oder "alle k Auftritte waren am Ende", d.h. die Wahrscheinlichkeit oben stimmt nur, wenn man sich vorab festlegt, in welchen der n Experimente die k Auftritte von A eintreten sollen.

Wie viele Möglichkeiten haben wir denn nun die k Experimente aus unseren n auszusuchen? [mm] \vektor{n \\ k} [/mm]

D.h. insgesamt (d.h. ohne Festlegung, wann A auftreten soll) beträgt die Wahrscheinlichkeit, von k Auftritten unter n Versuchen dann: [mm] $\vektor{n \\ k}p^k(1-p)^{n-k}$ [/mm]

> und bei der Berechnung des
> Schätzer vom Autor einfach weggelassen wurde.

Das liegt nun daran, dass du einen Schätzer hast, der ja aus einer konkreten vorgegebenen Kombination die Auftrittswahrscheinlichkeit $p$ bestimmen soll.
D.h. in welchen von den Experimenten A auftritt ist dann nicht mehr beliebig, sondern du betrachtest einen fixen, bereits festgelegten Ablauf von n Experimenten, in denen bereits klar ist, wann A aufgetreten ist.

Nach obigem ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass exakt dieser Ablauf eingetreten ist eben [mm] $p^k(1-p)^{n-k}$. [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Bernoulli Schätzer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:53 Mi 08.01.2020
Autor: magics

Hallo Gono,

vielen Dank! Das hat mir sehr geholfen.

Im Wiki-Artikel zu Bernoulli-Verteilung steht auch


Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung für [mm] {\displaystyle n=1}n=1. [/mm] Mit anderen Worten, die Summe von unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen mit identischem Parameter [mm] {\displaystyle p}p [/mm] genügt der Binomialverteilung, demnach ist die Bernoulli-Verteilung nicht reproduktiv. Die Binomialverteilung ist die [mm] {\displaystyle n}n-fache [/mm] Faltung der Bernoulli-Verteilung bei gleichem Parameter [mm] {\displaystyle p}p [/mm] bzw. mit gleicher Wahrscheinlichkeit [mm] {\displaystyle p}p. [/mm]


Und ja, ich werde diese Indizes nicht mehr mischen! :)

lg
Thomas

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]