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| Aufgabe | a)Geben sie eine kurze Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass beim 4-fachen Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p mindestens 2 Erfolge direkt hintereinander auftreten.
b)
Bestimmen sie beim n-fachen Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p eine Formel für die Wahrscheinlichkeit [mm] A_k="es [/mm] treten mindestens 2 Erfolge auf und zwischen dem ersten und zweiten Erfolg liegen genau k Misserfolge" [mm] (0\le k\le [/mm] n-2) |
meine Idee zu a)
Reicht es nicht zu betrachten, dass es genau zwei Erfolge und Misserfolge sind? denn sind es weniger Erfolge, können nicht zwei hintereinander auftreten und wenn es mindestens 3 sind, müssen hingegen zwei hintereinander auftreten.
[mm] P(\overline{A}\overline{A}AA)=p^2(1-p)^2
[/mm]
[mm] P_2=\vektor{4 \\ 2}p^2(1-p)^2
[/mm]
das ist meine Idee hierzu...ich weiß nur nicht wie ich p bestimme. Ist p=1/4?
bei b) habe ich gar keine Idee wie ich eine Formel für die Wahrscheinlichkeit herleiten kann.
Ich weiß nur das der Ansatz:
[mm] p^k*q^{n-k}=p^k(1-p)^{n-k} [/mm] eventuell möglich ist oder?
Mathegirl
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> a)Geben sie eine kurze Formel für die Wahrscheinlichkeit,
> dass beim 4-fachen Bernoulli-Experiment mit
> Erfolgswahrscheinlichkeit p mindestens 2 Erfolge direkt
> hintereinander auftreten.
>
> b)
> Bestimmen sie beim n-fachen Bernoulli-Experiment mit
> Erfolgswahrscheinlichkeit p eine Formel für die
> Wahrscheinlichkeit [mm]A_k="es[/mm] treten mindestens 2 Erfolge auf
> und zwischen dem ersten und zweiten Erfolg liegen genau k
> Misserfolge" [mm](0\le k\le[/mm] n-2)
>
>
> meine Idee zu a)
> Reicht es nicht zu betrachten, dass es genau zwei Erfolge
> und Misserfolge sind?
Bei der Folge 1010 sind es auch genau zwei Erfolge, sie treten aber nicht hintereinander auf!
> denn sind es weniger Erfolge,
> können nicht zwei hintereinander auftreten und wenn es
> mindestens 3 sind, müssen hingegen zwei hintereinander
> auftreten.
>
> [mm]P(\overline{A}\overline{A}AA)=p^2(1-p)^2[/mm]
> [mm]P_2=\vektor{4 \\ 2}p^2(1-p)^2[/mm]
> das ist meine Idee
> hierzu...ich weiß nur nicht wie ich p bestimme. Ist
> p=1/4?
>
> bei b) habe ich gar keine Idee wie ich eine Formel für die
> Wahrscheinlichkeit herleiten kann.
Du solltest eine Partition betrachten, nämlich die Ereignisse [mm] B_i, [/mm] dass das i. Experiment der erste Erfolg ist.
Dann ist
[mm] P(A_k)=\sum_{i=1}^n P(A_k|B_i)
[/mm]
rauskommen sollte sowas wie
[mm] \sum_{i=1}^{n-k-1}(1-p)^{i-1}p(1-p)^kp,
[/mm]
LG
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also war meine Lösung zu a) soweit in Ordnung?
B) verstehe ich trotzdem irgendwie nicht ....
Ist
> [mm]\sum_{i=1}^{n-k-1}(1-p)^{i-1}p(1-p)^kp,[/mm]
schon die Lösung zum Aufgabenteil b) ?
wie komme ich auf n-k-1 über der Summe? Kannst du mir das vielleicht nochmal kurz erklären? Ich will es wirklich verstehen und nicht nur Lösungen abschreiben.
MfG
mathegirl
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> also war meine Lösung zu a) soweit in Ordnung?
Nein, Du hast nur die WSK berechnet, dass genau zwei Erfolge auftreten.
Wenn diese beiden Erfolge nicht direkt hintereinander auftreten, tritt das gesuchte Ereignis nicht ein, dazu hatte ich dir ein Beispiel angegeben.
Außerdem gehört auch die Folge 1110 zum Ereignis.
Denk nun noch einmal nach.
>
> B) verstehe ich trotzdem irgendwie nicht ....
> Ist
>
> > [mm]\sum_{i=1}^{n-k-1}(1-p)^{i-1}p(1-p)^kp,[/mm]
>
> schon die Lösung zum Aufgabenteil b) ?
>
> wie komme ich auf n-k-1 über der Summe?
Die Summe läuft nur bis n-k-1, denn es ist
[mm] P(A_k|B_i)=(1-p)^{i-1}p(1-p)^kp,\qquad i=1,\ldots,n-k-1
[/mm]
sonst gilt (für $i [mm] \ge [/mm] n-k$)
[mm] P(A_k|B_i)=0,
[/mm]
denn wenn das i. Experiment mit [mm] $i\ge [/mm] n-k$ der erste Erfolg ist, folgen darauf nur noch [mm] $\le [/mm] k$ Experimente: Es können keine k Misserfolge und ein weiterer Erfolg mehr auftreten.
LG
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okay, also nochmal.. mindestens 2 Erfolge, es können also auch 3 oder 4 sein:
Dann hab ich folgende Möglichkeiten:
(1100)(0110)(1010)(0101)(1001)(1110)(0111)(1011)(1101)(1111)
Ich habe also 10 Möglichkeiten von denen nur 7 für die Aufgabenstellung in Frage kommen. also ist die Wahrscheinlichkeit 7/10 das mind. 2 Erfolge hintereinander auftreten.
[mm] \vektor{10 \\ 7}p^7-q^3 [/mm]
Stimmt das so?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> okay, also nochmal.. mindestens 2 Erfolge, es können also
> auch 3 oder 4 sein:
>
> Dann hab ich folgende Möglichkeiten:
>
> (1100)(0110)(1010)(0101)(1001)(1110)(0111)(1011)(1101)(1111)
>
Hier fehlt diese Möglichkeit: [mm]\red{(0011)}[/mm]
Damit gibt es 11 Möglichkeiten für mehr als einen Erfolg.
> Ich habe also 10 Möglichkeiten von denen nur 7 für die
> Aufgabenstellung in Frage kommen. also ist die
> Wahrscheinlichkeit 7/10 das mind. 2 Erfolge hintereinander
> auftreten.
> [mm]\vektor{10 \\ 7}p^7-q^3[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
> Mathegirl
>
Gruss
MathePower
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ja, die hab ich dann wohl vergessen, sorry...aber wenn ich es richtig einsetze mit 11, stimmt es dann so? oder muss ich nochwas zeigen bei dieser Aufgabe?
[mm] P(X\ge2)= \vektor{11 \\ 7}p^7-q^4
[/mm]
MfG
Mathegirl
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> ja, die hab ich dann wohl vergessen, sorry...aber wenn ich
> es richtig einsetze mit 11, stimmt es dann so? oder muss
> ich nochwas zeigen bei dieser Aufgabe?
>
>
> [mm]P(X\ge2)= \vektor{11 \\ 7}p^7-q^4[/mm]
Was ist denn das??
Bedenke bitte, dass [mm] $P("1001")\neq [/mm] P("1110")$
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der Folge "1001"? Analog bei den anderen.
LG
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:41 Do 08.12.2011 | | Autor: | Mathegirl |
jetzt bin ich verwirrt und weiß gar nicht mehr was hier für die Aufgabe zeigen soll :(
Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Mathegirl |
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe nochmal helfen/Tipps geben? ich steige da irgendwie nicht so ganz durch.
MfG
Mathegirl
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> a)Geben sie eine kurze Formel für die Wahrscheinlichkeit,
> dass beim 4-fachen Bernoulli-Experiment mit
> Erfolgswahrscheinlichkeit p mindestens 2 Erfolge direkt
> hintereinander auftreten.
Die günstigen Folgen bestehend aus Erfolg '1' und Misserfolg '0' für dieses Ereignis A (es sollen mindestens zwei Erfolge hintereinander auftreten) sind
$(1100),(0110),(0011),(1110),(0111),(1111)$
Nicht die vorangehend im Thread angegeben Folgen. Überzeuge dich davon.
Es ist [mm] P('1100')=P('0110')=P('0011')=p^2(1-p)^2, P('1110')=P('0111')=p^3(1-p) [/mm] und [mm] P('1111')=p^4.
[/mm]
Damit ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit
[mm] P(A)=3p^2(1-p)^2+2p^3(1-p)+p^4.
[/mm]
Versuche das strukturell zu verstehen, dann ist so eine Aufgabe bald nicht mehr schwer.
LG
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