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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Sa 15.10.2016 | | Autor: | Sito. |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es seien $A,B\subset \mathbb{R}$ beschränkte, nicht-leere Teilmengen. Definieren Sie für $x\in \mathbb{R}$
$D(x,A)=\inf\{|x-y|:y\in A\}$
$Q(A,B)=\sup\{D(x,A):x\in B\}$
$P(A,B)=\max\{Q(A,B),Q(B,A)\}$
Interpretieren Sie die Zahlen $P(x,A), Q(A,B) und P(A,B)$ |
Die Aussage von $D(x,A)$ verstehe ich soweit, nur weiss ich nicht wie ich nun mit $Q(A,B)$ umgehen soll...
Kann man also für $Q$ sagen:
$Q(A,B)=\sup\{D(x,A):x \in B\} = \sup\{\inf{|x-y|: y\in A \land x\in B\}$,
mir ist nicht ganz klar wie ich das interpretieren sollte?
Oder ist das auch falsch? und es sollte eigentlich heissen:
$Q(A,B)= \sup\{|x-y| : y \in A \land x \in B\}$
Das bedeutet also, dass der Abstand von x und y maximal sein soll? Man weiss ja aber nichts über die Beziehung zwischen $A$ und $B$, es lässt sich also auch schlecht eine Aussage über die Menge $Q$ machen, oder?
Oder kann man vlt. so etwas sagen wie: Der Abstand ist dann maximal, wenn $|\inf(B)-\sup(A)|$ rechnet, falls die Menge B "weiter links" auf der Zahlengerade von $\mathbb{R}$ ist? (falls hier jemand ein besseres Wort für weiter links hat, würde mich das natürlich auch interessieren...)
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.onlinemathe.de/forum/Berechnen-von-Infima-und-Suprema
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Sa 15.10.2016 | | Autor: | hippias |
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Eine Interpretationsaufgabe ist ja immer etwas unmathematisch...
> Es seien [mm]A,B\subset \mathbb{R}[/mm] beschränkte, nicht-leere
> Teilmengen. Definieren Sie für [mm]x\in \mathbb{R}[/mm]
>
> [mm]D(x,A)=\inf\{|x-y|:y\in A\}[/mm]
>
> [mm]Q(A,B)=\sup\{D(x,A):x\in B\}[/mm]
>
> [mm]P(A,B)=\max\{Q(A,B),Q(B,A)\}[/mm]
>
> Interpretieren Sie die Zahlen [mm]P(x,A), Q(A,B) und P(A,B)[/mm]
>
> Die Aussage von [mm]D(x,A)[/mm] verstehe ich soweit, nur weiss ich
Vielleicht kannst Du $D(x,A)$ einmal in Worten formulieren...
> nicht wie ich nun mit [mm]Q(A,B)[/mm] umgehen soll...
>
> Kann man also für [mm]Q[/mm] sagen:
>
> [mm]Q(A,B)=\sup\{D(x,A):x \in B\} = \sup\{\inf{|x-y|: y\in A \land x\in B\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
,
>
Obacht: es muss klar werden, über welche Menge Infimum und Supremum zu bilden sind, daher wäre besser $Q(A,B)=\sup\{D(x,A):x \in B\} = \sup_{x\in B}\{\inf{|x-y|: y\in A\}= \sup_{x\in B}\inf_{y\in A} |x-y|$ etc.
>
> mir ist nicht ganz klar wie ich das interpretieren sollte?
>
> Oder ist das auch falsch? und es sollte eigentlich
> heissen:
>
> [mm]Q(A,B)= \sup\{|x-y| : y \in A \land x \in B\}[/mm]
>
Das ist i.a. nicht das, was in der Definition von $Q(A,B)$ steht.
> Das bedeutet also, dass der Abstand von x und y maximal
> sein soll? Man weiss ja aber nichts über die Beziehung
> zwischen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm], es lässt sich also auch schlecht eine
> Aussage über die Menge [mm]Q[/mm] machen, oder?
>
> Oder kann man vlt. so etwas sagen wie: Der Abstand ist dann
> maximal, wenn [mm]|\inf(B)-\sup(A)|[/mm] rechnet, falls die Menge B
> "weiter links" auf der Zahlengerade von [mm]\mathbb{R}[/mm] ist?
> (falls hier jemand ein besseres Wort für weiter links hat,
> würde mich das natürlich auch interessieren...)
Versuche die Ausdrücke in Worte zu fassen: salopp formuliert ist $D(x,A)$ der kleinste Abstand zwischen den Elementen von $A$ und $x$, also so etwas wie "der Abstand von $A$ zu $x$". Eine Skizze könnte auch helfen, wobei diese vielleicht auch in [mm] $\IR^{2}$ [/mm] versuchen würde.
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> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten
> gestellt:http://www.onlinemathe.de/forum/Berechnen-von-Infima-und-Suprema
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