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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Sa 22.07.2006 | | Autor: | sclossa |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion:
f(z) = z * [mm] e^{\bruch{1}{1-z}}
[/mm]
berechnen sie die Art der isolierten Singularität und das Residuum |
Hallo!
Die isolierte Singularität liegt an der Stelle 1 vor.
Ich weiß das es sich hierbei um eine wesentliche Singularität handelt.
Ich weiß aber leider nicht, wie ich in so einem Fall das Residuum berechnen soll. Ich hab die Funktion mal als Potenzreihe geschrieben, aber irgendwie komm ich nicht wirklich weiter...
z * [mm] e^{\bruch{1}{1-z}}
[/mm]
= z * [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} [/mm] (-1) * [mm] \bruch{1}{(z-1)^k *k!}
[/mm]
Was muss ich nun tun und warum? Hab weder aim Buch über komplexe Analysis noch im Vorlesungsskript keine wirkliche Erklärung dazu gefunden.
lg
Stefan
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Grüße!
Na, Du hast doch fast schon die um den Punkt 1 entwickelte Laurentreihe da stehen. (Vorsicht: Du hast einen Rechenfehler gemacht, bzw. etwas vergesssen. Es muss natürlich [mm] $(-1)^k$ [/mm] unter der Summe heißen.) Das Residuum ist nichts weiter als der Koeffizient vor dem Term [mm] $(z-1)^{-1}$. [/mm] Also weiterrechnen:
$z [mm] \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} (z-1)^{-k} [/mm] = [mm] \big( [/mm] (z-1) + [mm] 1\big) \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} (z-1)^{-k} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} (z-1)^{-k+1} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}(z-1)^{-k}$
[/mm]
Insgesamt ist der Koeffizient vor [mm] $(z-1)^{-1}$ [/mm] also:
[mm] $\frac{1}{2!} [/mm] - [mm] \frac{1}{1!} [/mm] = - [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
Und das ist das Residuum, also im Wesentlichen der Wert des Integrals von $f$, wenn man entlang eines Pfades integriert, der einen kleinen Kreis um den Punkt 1 beschreibt. Ich sage "im Wesentlichen", weil man den Faktor $2 [mm] \pi [/mm] i$ berücksichtigen muss, aber das weißt Du sicher... 
Alles klar?
Lars
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