Berechnung von Eigenwerten < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 So 07.01.2007 | | Autor: | semail |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender Matrix:
1 0 3
0 5 0
3 0 1 |
Mein erster Schritt war die Determinante zu bestimmen.
Die Determinante hat bei mir folgendes Aussehen:
[mm] -/lambda^3 [/mm] + [mm] 7/lambda^2 [/mm] - 2/lambda - 40
Daher entschied ich mich für eine Polynomdivison durch (/lambda - 5).
Tatsächlich geht sich die Division schön ohne Rest aus und ich bekomme:
[mm] -/lambda^2 [/mm] + 2/lambda + 8 heraus.
Dieses Ergebnis habe ich in die "kleine Lösungsformel" eingesetzt. Und hier taucht nun mein Problem auf. Ich bekomme in der Lösungsformel unter der Wurzel eine Minuszahl heraus ==> geht nicht.
Kann mir jemdand vielleicht auf die Sprünge helfen wie ich sonst noch zu meinen Eigenwerten/Eigenvektoren komme bzw. wo oder ob ich einen Fehler eingebaut habe?!
mit dank im voraus
claus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender
> Matrix:
> 1 0 3
> 0 5 0
> 3 0 1
> Mein erster Schritt war die Determinante zu bestimmen.
> Die Determinante hat bei mir folgendes Aussehen:
> [mm]-\lambda^3[/mm] + [mm]7\lambda^2[/mm] - [mm] 2/\lambda [/mm] - 40
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
ich habe als charakteristisches Polynom
[mm] -\lambda^3+7\lambda^2-11\lambda-40 [/mm] ausgerechnet.
Vielleicht löst sich damit Dein Problem schon?
Gruß v. Angela
EDIT: NUR STIMMT DAS LEIDER NICHT. DAS CHARAKTERISTISCHE POLYNOM IST
[mm] (1-\lambda)^2(5-\lambda)-9(5-\lambda), [/mm] welches die ganze nun folgende Diskussion überflüssig macht, denn die Nullstellen dieses Polynoms lassen sich leicht errechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Mo 08.01.2007 | | Autor: | semail |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Eigenwerte/Eigenvektoren! |
Hallo,
Danke für deinen Willkommensgruß und für deine Antwort!
Habe mithilfe der von dir berechneten Determinante auf die Eigenwerte/Eigenvektoren zu kommen.
Habe versucht mittels Polynomdivision zu einem Ergebnis zu kommen. Doch leider bleibt immer ein Rest. Nehme daher an, dass dies nicht der geeignete Weg ist oder ich mache immer den "gleichen" Fehler rein 
Könntest Du mir vielleicht noch weiter helfen?
mit dank im voraus
claus
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>
> Habe mithilfe der von dir berechneten Determinante auf die
> Eigenwerte/Eigenvektoren zu kommen.
> Habe versucht mittels Polynomdivision zu einem Ergebnis zu
> kommen. Doch leider bleibt immer ein Rest.
Hallo,
mit welchen Ziel führst Du welche Polynomdivision durch?
Ich habe auch schon versucht, durch "fröhliches Nullstellenraten" zu einer Nullstelle Deines Polynoms zu kommen, was mir nicht gelungen ist
Zeichnet man die Funktion, so sieht man eine Nullstelle ungefähr bei -1.6.
Sollst Du die Nullstelle mit einem numerischen Verfahren bestimmen, oder brauchst Du den exakten Wert (Cardano?)
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Mo 08.01.2007 | | Autor: | semail |
hallo,
habe so ähnliche bsp. in meinem skript gefunden. hat man die determinante ausgerechnet werden dort entweder polynomdivisionen durchgeführt um zu den eigenwerten zu gelangen oder es liegen determinanten vor bei denen man lambda herausheben kann (und null setzen) um zu den eigenwerten zu gelangen. Die Form dieser Determinante (vom beschriebenen bsp) lässt ja meines wissens nur eine polynomdivision zu um zu dem gewünschten ergebnis zu kommen - oder?
Wie es leider so oft ist, geht es sich bei den Bsp im Skript immer "schön" aus.
In meiner Angabe steht keine genauere Beschreibung wie ich zu den Eigenwerten komme. Daher nehme ich mal an, ich kann jede Variante die gültige Eigenwerte/Eigenvektoren liefert heranziehen - nur welche und wie?
Hoffe ich hab mich halbwegs verständlich ausgedrückt
danke für deine hilfe!
claus
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> Die Form dieser Determinante (vom
> beschriebenen bsp) lässt ja meines wissens nur eine
> polynomdivision zu um zu dem gewünschten ergebnis zu kommen
> - oder?
Hallo,
ich verstehe nicht, was Du mit dieser Polynomdivision meinst. (Polynomdivision kann ich schon - ich weiß nur nicht wen Du warum durch was teilen willst!)
Zu Polynomdivision fällt mir nur so etwas ein:
Ich suche die Nullstellen von [mm] x^3+x^2+2x+2.
[/mm]
Weil ich so extrem clever bin, errate ich, daß -1 eine Nullstelle ist.
Nun weiß ich, daß ich den Linearfaktor (x+1) abspalten kann, daß also [mm] x^3+x^2+2x+2=(x+1)*(???) [/mm] ist.
Um (???) herauszufinden, mache ich eine Polynomdivision. Ergebnis [mm] (???)=x^2+2.
[/mm]
Also ist [mm] x^3+x^2+2x+2=(x+1)*(x^2+2)
[/mm]
Weil [mm] x^2+2 [/mm] keine Nullstelle hat, hat man betrachtetes Polynom keine weitere Nullstelle.
Meinst Du das so?
Das klappt bei Deinem Polynom aber nicht, weil wir ja keine Nullstelle kennen.
Ansonsten, wenn's exakt sein soll: Cardanische Lösungsformeln.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Mo 08.01.2007 | | Autor: | semail |
hi,
ich glaube ich hab dich verstanden. also mithilfe der polynomdivision komme ich hier nicht weiter. Haben die Cardanische Lösungsformel noch nicht durchgenommen. Auf anderem Wege kann ich nicht meine Eigenwerte/Eigenvektoren der Matrix bestimmen - oder?
stehe anscheinend ein bisschen auf der leitung
claus
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Hallo,
Cardano darfst Du anwenden - ob ihr das hattet oder nicht: schließlich darf man ja auch Nullstellen erraten.
Aaaaber das ist gar nicht nötig.
Denn: ich fass' es nicht! Wir haben nämlich beide falsch gerechnet!
Wir brauchen doch die Determinante von
= [mm] det\pmat{ 1-\lambda & 0 &-3\\ 0 & 5-\lambda &0 \\-3 & 0 &1-\lambda}
[/mm]
[mm] =(1-\lambda)^2(5-\lambda)-3(5-\lambda)*3=(5-\lambda)[((1-\lambda)^2-9]
[/mm]
Den Term in eckigen Klammern kannst Du noch in Linearfaktoren zerlegen.
Alles ist sehr behaglich...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Mo 08.01.2007 | | Autor: | semail |
hi,
war in der zwischenzeit auch tätig und bin auf folgende Determinante gekommen:
[mm] \lambda^3 [/mm] - [mm] 7\lambda^2 [/mm] + [mm] 2\lambda [/mm] + 40
nun habe ich den ersten Eigenwert geraten ==> -2
(besser gesagt ein "progrämmchen" hat es mir "geflüstert")
nun dividierte ich die Determinante durch [mm] \lambda [/mm] + 2.
dabei kam folgender ausdruck heraus:
[mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] 9\lambda [/mm] + 20
Diesen Ausdruck nun eingesetzt und man kommt auf die weiteren Eigenwerte 5 und 4.
Anhand dieser Eigenwerte war es nun relativ leicht auf die dazugehörigen Eigenvektoren zu kommen ...
Danke für deine Mithilfe und Mühe!
lg
claus
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