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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 So 30.05.2010 | | Autor: | Nikurasu |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Ebene E durch eine Parameterdarstellung.
(1) Geben Sie eine Koordinatengleichung für die Ebene E an.
(2) Welchen Abstand hat die Ebene vom Ursprung?
(3) Welchen Abstand hat der Punkt P (3|2|-5) von E?
(4) Unter welchen Winkeln schneidet E die Koordinatenebenen?
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ 1} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] |
Ich stehe bei dieser Aufgabe total auf dem Schlauch. Weiß nicht, wie ich anfangen soll.
Hilfreich wäre mir auch eine Anleitung, wie ich eine Parameterform in eine Punkt-Normalenform, Normalenform und Koordinatenform umwandeln kann. Da habe ich nämlich große Schwierigkeiten mit.
Auch bei der Abstandsbereichnung und bei der Winkelberechnung weiß ich nicht weiter. Bitte um Hilfe, bin echt ziemlich überfordert mit dieser Aufgabe und schreibe morgen eine Klausur.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 So 30.05.2010 | | Autor: | Nikurasu |
Hat jemand eine Idee? Würde mich echt freuen...
Komme immer noch nicht weiter...
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Hallo!
Die Parameterform gibt dir für zwei Parameter [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] die Koordinaten [mm] \vec{x}=\vektor{x\\y\\z} [/mm] einer Ebene.
Um das in die Koordinatenform zu bringen, schreibe die Parameterform als lineares Gleichungssystem mit 3 Zeilen , und eleminiere die beiden Parameter (z.b.: löse die erste Gleichung nach [mm] \lambda [/mm] auf, setze das in die andere Gleichungen ein. Setze dann die zweite nach [mm] \mu [/mm] auf, und setze das in die dritte ein - Jetzt die 3. Gleichung noch aufräumen, und fertig.)
Jetzt zur Normalenform:
[mm] (\vec{x}-\vec{a})*\vec{n}=0
[/mm]
Das ist gleich:
[mm] \vec{x}*\vec{n}-\vec{a}*\vec{n}=0
[/mm]
Wenn du das mal für konkrete Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{n} [/mm] ausrechnest, wobei du [mm] \vec{x}=\vektor{x\\y\\z} [/mm] beibehälst, erhälst du ebenfalls die Koordinatenform.
Vor allem: erkennst du [mm] \vec{n} [/mm] darin wieder? Und kannst du einen(!) Aufpunkt [mm] \vec{a} [/mm] aus der Koordinatengleichung ermitteln?
Die Parameterform bekommst du recht einfach aus der Koordinatenform: Setze zwei der drei Variablen fest, und ermittle die dritte. Damit berechnest du einen Punkt in der Ebene. Wiederhole das noch zwei mal für andere Werte, und du hast insgesamt drei Punkte in der Ebene. Daraus kannst du schnell die Parameterform hinschreiben.
Zur Winkelberechnung schnappst du dir den Normalenvektor, z.B. aus der Koordinatengleichung, sowie einen Vektor, zu dem der Winkel berechnet wird. Jetzt hilft dir das Skalarprodukt, denn [mm] \frac{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{a}|}=\cos(\alpha)
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:03 So 30.05.2010 | | Autor: | Nikurasu |
Danke für die Antwort.
Ich bin jetzt zwar einiges schlauer, weiß aber trotzdem nicht, wie ich die Parameter eliminieren soll bzw. wie Du das mit dem linearen Gleichungssystem meinst. Wie soll ich das nach [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] umstellen???
Bin total überfordert.... :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Mo 31.05.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Nikurasu!
Bitte poste doch mal, wie weit Du genau kommst. Wie lautet denn das Gleichungssystem?
Gruß vom
Roadrunner
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