Berechnung eines Funktionswert < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Do 06.07.2006 | | Autor: | deralex |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
Funktion [mm] f:R^3-> R^3 [/mm] mit Matrix [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 3 & 3 & 0 } [/mm] bzgl. der Standartbasis.
[mm] f^3 [/mm] = [mm] \pmat{ 18 & 18 & 0 \\ 9 & 9 & 0 \\ 27 & 27 & 0 } [/mm]
ker [mm] f^3 [/mm] = Span{(1,-1,0),(0,0,1)}
lm [mm] f^3 [/mm] = Span{(2,1,3)}
Warum ist das so? Wobei hier meine eigentliche wahrscheinlich simple Frage ist.
Wenn ich oben die Funktion f habe und ich möchte zB. f ( [mm] \vektor{7 \\ 3 \\ 2}) [/mm] ausrechnen mit Hilfe der Matrix. Wie mache ich das dann?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Do 06.07.2006 | | Autor: | Zaed |
Hallo,
du musst [mm] \vektor{7 \\ 3 \\ 2}) [/mm] nur mit deiner Matric multiplizieren, und schon hast du das Bild dieses Vektors. Die Matrix ist doch gerade deine Funktionsvorschrift...
ker [mm] f^3 [/mm] ist einfach die Lösungsmenge, für die deine Funktion auf 0 abbildet. Setze einfach mal (1,-1,0) und (0,0,1) ein, und du wirst immer null erreichen...
Diese Elemete bilden eine Basis dieses Lösungsraums, und somit spannen sie diesen auf.
Beim Bild ist dies ähnlich, ... nur hier musst du alle Vektoren nehmen, sie durch deine Funktionsvorschrift erreichbar sind. Dies sind gerade alle Vielfachen von (2,1,3) - also ist dies eine Basis, welche diesen Raum aufspannt. Dass dies dieser Vektor ist, siehst du ganz einfach daran, indem du dir einmal die Spalten deiner Matrix anschaust... da müsste dir etwas ins Auge schießen
ich hoffe, das hilft dir etwas weiter...
mfG Zaed
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Do 06.07.2006 | | Autor: | deralex |
Vielen Dank.
Nur was mich noch wundert ist jetzt die Definition des Matrix - bzw. Vektor-Matrixproduktes.
Im Skript wie bei Wikipedia ist es so definiert, dass man wenn man Matrizen A und B multiplizieren möchte zeile von A mit spalte von B verarbeitet.
Nehme ich also Matrix mal Vektor oder Vektor mal Matrix um das Ergebnis zu bekommen?
In diesem Fall macht ja eigentlich nur Matrix mal Vektor Sinn um das Ergebnis zu erhalten.
Also : [mm] \pmat{ 18 & 18 & 0 \\ 9 & 9 & 0 \\ 27 & 27 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Do 06.07.2006 | | Autor: | Zaed |
Hallo, ...
also erstmal macht die Unterscheidung zwischen Matrixprodukt und Matrixvektorprodukt keinen wirklichen Sinn :)
Ein Vektor aus dem [mm] \IR^3 [/mm] ist auch nur eine 1x3 Matrix
Und so wie du das aufgeschrieben hast, ist das richtig - Die Anzahl der Spalten von A muss gleich der Anzahl der Zeilen von B sein - und das ist ja der Fall.
Dann musst du nurnoch die Definition der Matrixmultiplikation abarbeiten, und hast dein Bild
mfG Zaed
|
|
|
|
