Berechnung einer Determinanten < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Mellen |
| Aufgabe | Es sei [mm] A_{n}=(a_{ij}) [/mm] die nxn-Matrix mit den Koeffizienten [mm] a_{ij}=ggT(i,j) [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i,j [mm] \le [/mm] n.
Beweise: det [mm] A_{n}=\produkt_{d=1}^{n} \phi(d), [/mm] wobei [mm] \phi [/mm] die Eulersche Phi-Funktion ist. |
Hallo zusammen,
habe die obige Aufgabe zu lösen, aber leider keine AHnung wie ich anfangen soll. Habe es mit Induktion über n versucht. Ind.Anf ist ja kein Problem, aber der Ind.Schritt? Oder bin ich auf dem ganz falschen Dampfer?
Danke im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Di 18.11.2008 | | Autor: | PeterB |
Nette Aufgabe!
Ich würde so vorgehen:
Zeige man kann [mm] $A_n$ [/mm] durch elementare Zeilenumformungen auf die Form
[mm] $B_n=\vektor{b_1\\b_2\\...\\b_n}$ [/mm] mit den Zeilen [mm] $b_i=(b_{i1},...,b_{in})$ [/mm] mit [mm] $b_{ij}=\phi(i)$ [/mm] falls $i|j$ und [mm] $b_{ij}=0$ [/mm] sonst bringen. Am besten beweißt man dass für alle [mm] $A_n$ [/mm] gleichzeitig per Induktion über die Zeilennummer.
Aber [mm] $B_n$ [/mm] ist dann eine obere Dreiecksmatrix mit den [mm] $\phi(i)$ [/mm] auf der Diagonalen.
Ok, das ist sehr knapp, aber ich bin auch gerade etwas in Eile.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Di 18.11.2008 | | Autor: | Mellen |
Hey, schon mal vielen Dank!
Hab es bereits versucht, bleibe allerdings wieder mal am Induktionsschritt hängen. Wie kann ich von der vorigen Zeile auf die nächste schließen?
Und warum ist [mm] B_{n} [/mm] dann eine obere Dreiecksmatrix?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Di 18.11.2008 | | Autor: | PeterB |
> Wie kann ich von der vorigen
> Zeile auf die nächste schließen?
Wenn du schon die ersten $i-1$ Zeilen gemacht hast, solltest du von der alten $i$-ten alle die j-ten Zeilen abziehen, so dass $j$ ein echter Teiler von $i$ ist. Das dann das gewünschte raus kommt liegt an der elementaren Formel
[mm] $n=\sum_{d|n}\varphi(d)$
[/mm]
(Die Menge der Zahlen <n wird bezüglich des ggTs mit $n$ zerlegt.)
> Und warum ist [mm]B_{n}[/mm] dann eine obere Dreiecksmatrix?
>
>
Nun ja nach meiner Beschreibung der i-ten Zeile ist die erste Zahl die nicht 0 ist die i-te, diese ist nämlich [mm] $\varphi(i)$. [/mm] Und da man bei Dreiecksmatrizen für die Determinante nur die Diagonale aufmultiplizieren muss folgt die behauptete Formel.
Ich hoffe das ist jetzt etwas verständlicher.
Gruß
Peter
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