Berechnung der Grenzwerte < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Niente |
| Aufgabe | Berechne die folgenden Grenzwerte
(a) [mm] \limes_{x>2, x\rightarrow\2} \bruch{2x+1}{x^{2}-3x+2}
[/mm]
(b) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{3x}{x-1}+\bruch{2x}{x+1})
[/mm]
(c) [mm] \limes_{x>1, x\rightarrow\1} (\bruch{1}{x+3}-\bruch{2}{3x+5}) \bruch{1}{x-1} [/mm] |
Hallo,
bei a) und c) weiß ich leider gar nichts mit der Limesnotation anzufangen... Ich kenne das nur bei Funktionen, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\a}. [/mm] a soll da der Berührpunkt sein... ich verstehe aber überhaupt nicht, wie ich damit rechnen kann...
zu (b)
lim [mm] (\bruch{3x}{x-1}+\bruch{2x}{x+1})= [/mm] lim [mm] (\bruch{3x (x+1) + 2x (x-1)}{(x-1)(x+1)})= [/mm] lim [mm] (\bruch{3x^{2} +2x+2x^{2}-2x}{x^{2}-1})= [/mm] lim [mm] (\bruch{5x^{2}+x}{x^{2}-1})= [/mm] lim [mm] (\bruch{5x+1}{x-\bruch{1}{x}})= [/mm] lim (5x+1) lim [mm] \bruch{1}{x-\bruch{1}{x}}.
[/mm]
Da lim [mm] \bruch{1}{x-\bruch{1}{x}}=0, [/mm] und dort ein Produkt steht, ist der lim für die ganze Folge = 0.
Stimmt das? Habe das Ganze noch durch Epsilon und N überprüft:
Zeige: [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N:
[mm] |\bruch{5x+1}{x- \bruch{1}{x}}-0| \le \varepsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{5x+1}{x- \bruch{1}{x}}| \le |\bruch{5x+1}{x}|= \bruch{5x}{x}+ \bruch{1}{x}=5 [/mm] + [mm] \bruch{1}{x} \le \varepsilon
[/mm]
Wähle N:= [mm] \bruch{1}{\varepsilon-5} \forall x\ge [/mm] N
[mm] |\bruch{5x+1}{x- \bruch{1}{x}}|\le |\bruch{5x+1}{x}|= [/mm] |5+ [mm] \bruch{1}{x}| \le [/mm] |5+ [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon-5}}|=|5+\varepsilon-5|=| \varepsilon|=\varepsilon
[/mm]
Q.E.D. stimmt das??
Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:14 Sa 17.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Niente
> Berechne die folgenden Grenzwerte
> (a) [mm]\limes_{x>2, x\rightarrow\2} \bruch{2x+1}{x^{2}-3x+2}[/mm]
>
> (b) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{3x}{x-1}+\bruch{2x}{x+1})[/mm]
>
> (c) [mm]\limes_{x>1, x\rightarrow\1} (\bruch{1}{x+3}-\bruch{2}{3x+5}) \bruch{1}{x-1}[/mm]
>
> Hallo,
>
> bei a) und c) weiß ich leider gar nichts mit der
> Limesnotation anzufangen... Ich kenne das nur bei
> Funktionen, dass [mm]\limes_{x\rightarrow\a}.[/mm] a soll da der
> Berührpunkt sein... ich verstehe aber überhaupt nicht, wie
> ich damit rechnen kann...
[mm]\limes_{x\rightarrow\a}.[/mm] hat nichts mit einem Berührpunkt zu tun! in einfachen Fällen [mm] f(x)=3x^{2} [/mm] ist [mm]\limes_{x\rightarrow\2}f(x)=12[/mm]
> zu (b)
> lim [mm](\bruch{3x}{x-1}+\bruch{2x}{x+1})=[/mm] lim [mm](\bruch{3x (x+1) + 2x (x-1)}{(x-1)(x+1)})=[/mm]
> lim [mm](\bruch{3x^{2} +2x+2x^{2}-2x}{x^{2}-1})=[/mm] lim
> [mm](\bruch{5x^{2}+x}{x^{2}-1})=[/mm] lim
> [mm](\bruch{5x+1}{x-\bruch{1}{x}})=[/mm] lim (5x+1) lim
> [mm]\bruch{1}{x-\bruch{1}{x}}.[/mm]
>
> Da lim [mm]\bruch{1}{x-\bruch{1}{x}}=0,[/mm] und dort ein Produkt
> steht, ist der lim für die ganze Folge = 0.
Das Produkt der Grenzwerte gleich Grenzwert der Produkte ist nur richtig, wenn beide Grenzwerte existieren! aber hier existiert doch [mm][mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(5x+1) [/mm] nicht.
Warum hast du durch x und nicht durch [mm] x^{2} [/mm] geteilt?
oder du betrachtest die 2 Summanden einzeln und suchst ihren Grenzwert, wenn beide existieren, darfst du sie addieren! (Übrigens, wenn du GW 0 vermutest, setz doch mal ein großes x ein, etwa x=1000 oder 10000, und sieh nach, obs gegen 0 geht, dann vermeidest du so unsinnige Fehler)
> Stimmt das? Habe das Ganze noch durch Epsilon und N
> überprüft:
hier kommt doch gar kein n vor, also musst du ein X0 suchen, sodass für alle x>X [mm] f(x)<\varepsilon. [/mm] Aber das geht hier nicht, weil der GW ja nicht 0 ist.
> Zeige: [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall[/mm] n
> [mm]\ge[/mm] N:
> [mm]|\bruch{5x+1}{x- \bruch{1}{x}}-0| \le \varepsilon[/mm]
>
> [mm]|\bruch{5x+1}{x- \bruch{1}{x}}| \le |\bruch{5x+1}{x}|= \bruch{5x}{x}+ \bruch{1}{x}=5[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{x} \le \varepsilon[/mm]
hier musst du doch sehen, dass du kein belibiges [mm] \varepsilon [/mm] mehr wählen kannst, weil es ja sicher größer als 5 ist für alle x>0
> Wähle N:= [mm]\bruch{1}{\varepsilon-5} \forall x\ge[/mm] N
wenn [mm] \varepsilon [/mm] klein ist ist dein N negativ! fällt dir das nicht auf und x=0 gehört dann zu den erlaubten x! die einzelnen Fehler weiter aufzuzählen hab ich keine Lust mehr. Du musst dir etwas mehr unter den Zahlen und Rechnungen vorstellen. und nicht blindlings rumrechnen.
> Q.E.D. stimmt das??
Leider nichts.
Bei a) und c) hast du nicht gesagt, wohin x gehen soll, ich nehm an bei a)gegen 2, bei b gegen 1. Das sind Nullstellen des Nenners, bei c kannst du nach dem Ausrechnen für alle Werte x>1 kürzen, bei a geht der Nenner gegen 0 ohne dass der Zähler gegen 0 geht also kein endlicher GW es sei denn du hast die Fkt falsch abgeschrieben, prüf das noch mal nach.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo,
danke für die antwort.
Bei b) habe ich das nun wie folgt verbessert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{3x}{x-1}+\bruch{2x}{x+1})
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{3x}{x-1})+\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2x}{x+1})= 3\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{x}{x-1})+ 2\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{x}{x+1})=5
[/mm]
Der Grenzwert müsste also bei 5 liegen, weil [mm] limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{x}{x+1})=1 [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{x}{x-1})=1
[/mm]
und 3*1+2*1=5
Stimmt das? Muss ich das noch mit Epsilon und X überprüfen?
Bei a) und c) weiß ich leider immer noch nicht, wie ich genau vorgehen muss...
Du hast richtig angenommen, dass x bei a) gegen 2 und bei c) gegen 1 gehen soll.
Wie rechne ich das denn ganau, wenn der x gegen eine bestimmt Zahle geht? Habe dafür einfach gar keinen Ansatz!
Ich hoffe, du kannt mir nochmal helfen!
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Sa 17.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Niente
x gegen 1, x>1 entspricht z, Bsp x=1+1/n n gegen unendlich!
jetzt musst dus eigentlich können . es muss nicht genau die Folge sein, sonder irgendeine, die gegen 1 konvergiert!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 So 18.12.2005 | | Autor: | AgentLie |
Hallo! Die Limites sind mir eigentlich (denke ich ;)) klar. Ich habe als Ergebnisse für a) oo b) ebenfalls 5 und für c) 1/32 Mir ist aber nicht klar, wie man diese Limites beweisen soll/kann. Bei b) könnte man noch mit l'hopital argumentieren. Aber das ist ja eigentlich auch nur eine Vereinfachung und kein Beweis. Oder reicht es etwa schon, die Zahlen einfach einzusetzen?
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