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| Aufgabe | | Berechne den größten Lyapunov-Exponenten für die dissipative Standardabbildung. |
Die dissipative Standardabbildung ist 2-dimensional, daher gibt es zwei Lyapunov-Exponenten. Die Summe beider Exponenten ist mir auch bekannt, da die Determinante der Funktionalmatrix über den gesamten Orbit gleich bleibt. Allerdings versuche ich die Exponenten numerisch zu berechnen.
Ich habe auch einen Weg gefunden/benutzt, um den größten recht effektiv zu berechnen, allerdings entzieht sich mir, warum dieser überhaupt funktioniert.
[mm] \mathrm{D}\mathbf{f}^t(\mathbf{x}_t) [/mm] sei die Funktionalmatrix der Abbildung nach $t$-vorhergehenden Iterationen an der Stelle [mm] \mathbf{x}_t.
[/mm]
Das Lyapunov-Spektrum ließe sich rein formal mit
[mm] \lambda_n [/mm] = [mm] \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \ln \left| \Lambda_n\left( \mathrm{D}\mathbf{f}^t (\mathbf{x}_0)\right)\right|
[/mm]
berechnen [mm] (\Lambda_n [/mm] bezeichnet den $n$-ten Eigenwert).
Die Funktionalmatrix lässt sich nach jedem Zeitschritt skalieren, indem man sie durch ein reelles Vielfaches eines ihren Einträge teilt. Diese Einträge seien in [mm] \alpha_t [/mm] vermerkt, so dass man auch
[mm] \lambda_n [/mm] = [mm] \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \ln \left| \alpha_t \Lambda_n\left( \mathrm{D}^\star\mathbf{f}^t (\mathbf{x}_0)\right)\right|
[/mm]
schreiben kann.
Mit wenigen Umformungen und das ganze bis zu $T$ mit $t$ als Laufindex kann man dieses Produkt als Summe schreiben und
[mm] \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\sum_{t=0}^{T-1} \log \alpha_t
[/mm]
ergibt schon den größten Lyapunov-Exponenten.
Ich kenne dieses Verfahren, indem man schaut wie sich eine Anfangsstörung [mm] \varepsilon_0 [/mm] entwickelt und sich dieser zu einem Eigenvektor der Funktionalmatrix ausrichtet und der zugehörige Streckungsfaktor einem Eigenwert dieser Matrix entspricht. Warum man immer den größten mit dieser Methode erwischt ist mir auch klar.
Doch wieso klappt es den größten Lyapunov-Exponenten ohne Bestimmung eines Eigenwertes/Eigenvektors zu ermitteln? Die Skalierungsfaktoren zu den einzelnen Funktionalmatrizen an den verschiedenen Stellen im Orbit reichen offenbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 29.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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