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| Aufgabe | Gegeben sei das Vektorfeld [mm] \overrightarrow{f}: R^3 [/mm] -> [mm] R^3 [/mm] mit
[mm] \overrightarrow{f}=\vektor{e^{x-1} \\ zsinhy \\ e^z}
[/mm]
und C sei die Kurve in [mm] R^3 [/mm] mit der Parameterdarstellung
[mm] \overrightarrow{x}:[0,\pi/2] ->R^3, [/mm]
[mm] \overrightarrow{x}(t)=\vektor{1+sint \\ 1 \\ sint}
[/mm]
Berchnen Sie das Kurvenintegral [mm] \integral_{c}{f(x) dx} [/mm] |
hallo zusammen,
ich bin leider bei dieser Aufgabe steckengeblieben und wollte daher mal wissen, ob mein Weg bisher richtig ist.
sooo, ich habe zuerst einmal die Ableitung von
[mm] \overrightarrow{x}(t) [/mm] gebildet. dieser sieht bei mir, wie folgt aus:
[mm] \overrightarrow{x}'(t)= \vektor{cost \\ 0 \\ cost}
[/mm]
danach habe ich in [mm] \overrightarrow{f} [/mm] die Parameter von [mm] \overrightarrow{x} [/mm] eingesetzt und daraufhin die Ableitung mit den "parametisierten Werten" multipliziert, so das es im Endeffekt so aussieht:
[mm] \integral_{a}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{f((x)(t))*\overrightarrow{x}'(t) dx}=\integral_{0}^{\pi/2}{ \vektor{e^{sint} \\ sint \\ e^{sint}}* \vektor{cost \\ 0 \\ cost \\} dx}=...=\integral_{0}^{\pi/2}{2cos*e^{sint} dx}
[/mm]
Und jetzt komm ich nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich das Integral berechnen soll und vorallem ist mein bisheriger Weg richtig?????
In der Lösung muss 2e-2 rauskommen!!
ich freue mich über jede antwort
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Fr 04.09.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo blumich86,
mal abgesehen davon, dass Du im letzten Schritt die obere Integralgrenze etwas verbogen hast, sieht das Ganze schon recht gut aus.
Bleibt noch das Integral zu lösen; das sieht aber schlimmer aus, als es ist. Durch scharfes Hinsehen fällt nämlich auf, dass die Ableitung des Exponenten (also sin(t)) gerade als Faktor vor der Exponentialfunktion steht; und wenn man jetzt an die Kettenregel denkt und wie sich exp ableitet ...
Ich hoffe Du kommst jetzt klar.
Gruß
Uli
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soll ich also hier bzw. bei diesem Integral die Partielle Integration benutzen?? und wenn ja welches soll ich u nehmen und welches v'?
Gibt es eigentlich kein schnelleren Weg bzw. ein Trick wie man diese Aufgabe lösen kann??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 So 06.09.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Blumich86,
nein, das hatte ich nicht gemeint, ich wollte gerade auf so etwas wie einen "Trick" hinaus. Der besteht darin, dass es ja nun reicht, wenn man eine Stammfunktion hat (woher auch immer) und durch Ableiten beweist, dass es eine ist. Dann braucht man keine Integrationsformeln usw. anwenden. Wenn Du nochmal nachdenken willst, dann nicht weiterscrollen; weiter unten steht die Lösung.
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In diesem Fall ist exp(sin(t)) eine Stammfunktion, denn das ergibt abgeleitet gerade cos(t)*exp(sin(t)).
Gruß
Uli
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hallo,
erst einmal vielen dank für deine antwort aber leider verstehe ich nicht worauf du hinaus willst!!! was bringt mir das den jetzt??
gruss
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo blumich86,
stelle doch Fragen bitte als Fragen und nicht als Mitteilungen.
> hallo,
>
> erst einmal vielen dank für deine antwort aber leider
> verstehe ich nicht worauf du hinaus willst!!! was bringt
> mir das den jetzt??
Was genau meinst du mit "was bringt mir das"?
Es geht doch - wenn ich das hier richtig sehe - darum, das Integral $\int{2\cos(t)e^{\sin(t)} \ d\red{t}}=2\int{\cos(t)e^{\sin(t)}} \ dt}$ zu berechnen?!
Wenn du's mit dem scharfen Hinsehen ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") bzw. "Trick" nicht siehst, dann führe eine Substitution $u=u(t):=\sin(t)$ durch ...
Damit kommst du auf welche Stammfunktion? ...
>
> gruss
LG
schachuzipus
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also,
ich rechne jetzt mir der partiellen Integration [mm] (f=e^{sint} [/mm] ; g'=cost) [mm] \integral_{a}^{b}{f(t)*g'(t) dt}=[(sint*e^{sint}]-2*\integral_{a}^{b}{e^{sint}cost*cost dx}
[/mm]
ist das so richtig?? und wenn ja, wie gehe ich jetzt weiter??
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Hallo nochmal,
bereits 2 Leute haben dir gesagt, dass partielle Integration nichts bringt.
Ich habe dir auch die Substitution genannt, die du vornehmen musst.
Glaubst du, wir wollen dich mit unseren Antworten aufs Glatteis führen oder warum weigerst du dich, jeden gut gemeinten Hinweis anzunehmen??
Also mache mal die Substitution, dann kommst du in Windeseile auf dein Wunschergebnis
Gruß
schachuzipus
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und stelle Fragen als Fragen.
Liest du eigentlich, was man dir schreibt????
Mann Mann Mann
Echt
![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
schachuzipus
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juhuuu, ich glaube, ich habe es jetzt... mit u=sint, du/dt=cost => dt=du/cost
[mm] 2*\integral_{0}^{\pi/2}{cost*e^{sint} dt}=2*\integral_{0}^{\pi/2}{cost*e^{sint} du/cost}=2e^u=2e^{sint}=2e-2
[/mm]
stimmt das so???
und wird bei e-funktionen hauptsächlich die substitutionsregel verwendet???
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Hallo blumich86,
> juhuuu, ich glaube, ich habe es jetzt... mit u=sint,
> du/dt=cost => dt=du/cost
> [mm]2*\integral_{0}^{\pi/2}{cost*e^{sint} dt}=2*\integral_{0}^{\pi/2}{cost*e^{sint} du/cost}=2e^u=2e^{sint}=2e-2[/mm]
>
> stimmt das so???
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und wird bei e-funktionen hauptsächlich die
> substitutionsregel verwendet???
Die Substitutionsregel kann man auf jede beliebige Funktion anwenden.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 Di 08.09.2009 | | Autor: | blumich86 |
dankeschön für eure geduld und ausdauer :))
gruss
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