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Forum "Integration" - Berechnung Integral mit Wurzel
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Berechnung Integral mit Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Mi 30.05.2007
Autor: miamias

Aufgabe
[mm] \integral_{-1}^{1}{\wurzel{4t^2+9t^4} dt} [/mm]

Hallo,

[mm] \integral_{-1}^{1}{\wurzel{4t^2+9t^4} dt} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{t\wurzel{4+9t^2} dt}, [/mm] soweit is ja kein Problem, aber wie soll man die Wurzel integrieren? Partiell geht das doch nicht, da ich die Wurzel noch komplizierter mach und mit Substitution hab ich hier keinen blassen Schimmer womit ich was substituieren soll)?
mfg miamias

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Berechnung Integral mit Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Mi 30.05.2007
Autor: Martinius

Hallo,

die Idee mit der Substitution ist schon mal in Ordnung. Unter der Wurzel steht eine "Stammfunktion" des Faktors t, also substituiert man die "Stammfunktion":

[mm] \integral_{-1}^{1} t\wurzel{4+9t^{2}}\, [/mm] dt

u = 4 + [mm] 9*t^{2} [/mm]  ;  [mm] \bruch{du}{dt}= [/mm] 18*t   dt = [mm] \bruch{1}{18t}*du [/mm]


[mm]\integral_{13}^{13} t*\wurzel{u}*\bruch{1}{18t}\, du [/mm]

[mm]\bruch{1}{18}*\integral_{13}^{13}\wurzel{u}\, du [/mm]

[mm]\bruch{1}{18}*\left[\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{u}}\right]^{13}_{13} [/mm]

[mm]\bruch{1}{36}*\left[\bruch{1}{\wurzel{u}}\right]^{13}_{13} [/mm]

[mm]\bruch{1}{36}*\left[\bruch{1}{\wurzel{4+9t^{2}}}\right]^{1}_{-1} [/mm]


LG, Martinius
Bezug
                
Bezug
Berechnung Integral mit Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:46 Mi 30.05.2007
Autor: miamias

Vielen Dank für deinen Tipp, habs verstanden.
Bezug
                
Bezug
Berechnung Integral mit Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Mi 30.05.2007
Autor: miamias

Hab da noch ne Frage. Ist dir da beim Integrieren ein Fehler unterlaufen, oder mach ich da was falsch ich denke
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x^0,5 dx}= \bruch{1}{1,5}x^1,5= \bruch{2}{3} [/mm] x [mm] \wurzel{x}? [/mm] oder mach ich da was falsch??
Bezug
                        
Bezug
Berechnung Integral mit Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Mi 30.05.2007
Autor: Martinius

Hallo,

ja, ich hab Müll gebaut; sorry. Aus Versehen abgeleitet.

Natürlich ist

[mm]\bruch{1}{18}\integral_{13}^{13} \wurzel{u}\, du [/mm]

=[mm]\bruch{1}{18}*\left[ \bruch{2}3{}* (\wurzel{u})^{3}\right]^{13}_{13}\, du [/mm]

=[mm]\bruch{1}{27}*\left[(\wurzel{4+9t^{2}})^{3}\right]^{1}_{-1}\, du [/mm]

nochmals sorry.

LG, Martinius


Bezug
                
Bezug
Berechnung Integral mit Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:58 Mi 30.05.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Martinius,

da scheint mir ein kleiner Fehler drin zu sein:



>  
> [mm]\integral_{-1}^{1} t\wurzel{4+9t^{2}}\,[/mm] dt
>
> u = 4 + [mm]9*t^{2}[/mm]  ;  [mm]\bruch{du}{dt}=[/mm] 18*t   dt =
> [mm]\bruch{1}{18t}*du[/mm]
>  
>
> [mm]\integral_{13}^{13} t*\wurzel{u}*\bruch{1}{18t}\, du[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{18}*\integral_{13}^{13}\wurzel{u}\, du[/mm] [ok]
>  
> [mm]\bruch{1}{18}*\left[\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{u}}\right]^{13}_{13}[/mm] [kopfkratz3] hast du hier abgeleitet?;-)
>  
> [mm]\bruch{1}{36}*\left[\bruch{1}{\wurzel{u}}\right]^{13}_{13}[/mm] [notok]


[mm] \frac{1}{18}\int{\sqrt{u}du}=\frac{1}{18}\int{u^{\frac{1}{2}}du}=\frac{1}{18}\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{27}\sqrt{u^3}=\frac{1}{27}\sqrt{(4+9t^2)^3} [/mm]

alles mal ohne Grenzen

LG

schachuzipus
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