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Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
1.) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\produkt_{k=2}^{n} (1-\bruch{1}{k})
[/mm]
Überlegung:
[mm] \produkt_{k=2}^{n} (1-\bruch{1}{k}) [/mm] ergibt laut Taschenrechner [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und wennn man [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen unendlich laufen läßt ergibt 0.
Mein Problem ist wie kann man das mathem. so schreiben daas man die Rechenschritte sieht und das Ergebnis ablesen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Fr 06.02.2009 | | Autor: | weduwe |
> Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
> 1.) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\produkt_{k=2}^{n} (1-\bruch{1}{k})[/mm]
>
> Überlegung:
> [mm]\produkt_{k=2}^{n} (1-\bruch{1}{k})[/mm] ergibt laut
> Taschenrechner [mm]\bruch{1}{n}[/mm] und wennn man [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> gegen unendlich laufen läßt ergibt 0.
>
beweise deine annahme mit vollständiger induktion
> Mein Problem ist wie kann man das mathem. so schreiben daas
> man die Rechenschritte sieht und das Ergebnis ablesen kann.
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Ich verstehe dein Einwand nicht.
Laut Taschenrechner kommt bei derr Produktrechnung [mm] \bruch{1}{n} [/mm] raus. Und laut Grenzwertsätzen kommt 0 raus wenn man was gegen unendlich laufen lässt.
Ich möchte eigent lich nur die schriftliche Form haben wie man zum Ergbnis kommt.
Mein Schritte suind karantiert nicht vollständig
Danke
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Hallo Christopf,
das war kein Einwand von weduwe. Du wolltest wissen, wie man das mathematisch korrekt schreibt bzw. vorgeht.
Dein Taschenrechner gibt für das Produkt an, dass es gleich [mm] \bruch{1}{n} [/mm] sei. Das ist nun erst einmal zu zeigen, und der Hinweis, das per vollständiger Induktion zu tun, ist hier sehr hilfreich. Ein anderer Weg wäre ein Teleskopprodukt, hier auch sehr einfach anzuwenden.
Wenn Du das gezeigt hast, dann kannst Du ab da Deine Argumentation berechtigt anwenden. Für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] ist der Grenzwert des angegebenen Produkts tatsächlich 0.
Offen ist also nur noch dies: [mm] \produkt_{k=2}^{n} \left(1-\bruch{1}{k}\right)=\bruch{1}{n}
[/mm]
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Christopf |
Das bei Dem Produkt [mm] \bruch{1}{n} [/mm] liefert mir mein Taschenrechner als Ergebnis
Und weil ich das nicht bestätigen kann habe ich das ins Forum gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Fr 06.02.2009 | | Autor: | weduwe |
> Das bei Dem Produkt [mm]\bruch{1}{n}[/mm] liefert mir mein
> Taschenrechner als Ergebnis
>
> Und weil ich das nicht bestätigen kann habe ich das ins
> Forum gestellt
und darum habe ich geschrieben, beweise das mittels VI 
was ja ganz einfach geht
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Warum soll ich das mit VI Beweisen
Ich wollte eigentlich sehn wie man den Ausdruck umändern kann um das Ergebnis zu bekommen
Mehr nicht
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> Warum soll ich das mit VI Beweisen
Hallo,
irgendwie beweisen mußt Du die Aussage ja schon.
Vollständige Induktion erscheint mir recht geeignet.
>
> Ich wollte eigentlich sehn wie man den Ausdruck umändern
> kann um das Ergebnis zu bekommen
Vielleicht meintest Du dies:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\produkt_{k=2}^{n} (\bruch{k-1}{k}) [/mm] $.
Wenn Du das Produkt nun mal ausschreibst, siehst Du mehr. Im Idealfall.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Fr 06.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Christopf,
> Das bei Dem Produkt [mm]\bruch{1}{n}[/mm] liefert mir mein
> Taschenrechner als Ergebnis
>
> Und weil ich das nicht bestätigen kann habe ich das ins
> Forum gestellt
Ok, das haben wir verstanden, also mindestens weduwe und ich.
Falls Du auf eine Lösung wartest, könnte das lange dauern. Du hast zwei Tipps bekommen - 1) vollständige Induktion und 2) Teleskopprodukt - nun bist Du dran.
Wenn Du einen der Tipps verwenden möchtest, aber nicht verstehst, legen wir auch gern nach. Du hast aber nichts davon, wenn Du dieses Forum nur als Kontaktbörse zu Leuten nutzt, die Deine Rechnungen erledigen. Schließlich willst Du das ja irgendwann selbst können, und dazu musst Du es eben auch selbst lernen. Wir helfen Dir aber gern dabei.
Ein erster Schritt ist dieser, für n=2:
[mm] \produkt_{k=2}^{2} (1-\bruch{1}{k})=(1-\bruch{1}{2})=\bruch{1}{2}
[/mm]
Und für beide Tipps wäre der nächste Schritt, dann mal n=3 zu setzen, oder besser einfach zu n+1 fortzuschreiten.
Viel Erfolg!
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Christopf |
Mathe Foren sind keien Kataktbörsen für mich. Gibt es bessere und interessantere Themen.
Ein Mathe Forum ist für mich eine Ünterstützung zur Lösung meiner Matheprobleme
schade
Kann mann nichts ändern
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Fr 06.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hey, hey.
Hallo Christopf,
da habe ich mich wohl nicht gut ausgedrückt. Mir ging es darum, dass Du hier gerne Hilfestellungen bekommst, aber keine fertigen Lösungen. Nicht mehr und nicht weniger. Tipps hast Du jetzt genug, sogar noch eine praktische Umformung von Angela, und wenn Du damit nichts anfangen kannst, dann sag mal, wo Du damit hängenbleibst.
Liebe Grüße,
reverend
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Hallo
Kann es sein das der Grenzwert [mm] +\infty [/mm] ist
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Hallo Christopf,
> Hallo
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> Kann es sein das der Grenzwert [mm]+\infty[/mm] ist ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, es ist doch schon geklärt, dass der GW 0 ist.
Es bleibt an dir, zu zeigen, dass [mm] $\prod\limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{n}$ [/mm] ist für jedes [mm] $n\in \IN, n\ge [/mm] 2$
Das geht mit VI, wie schon ausführlichst geschrieben worden ist.
Wenn du das gezeigt hast, ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\prod\limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$
[/mm]
Also mache die vollst. Induktion, ohne die geht's kaum
LG
schachuzipus
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