Berechnen von Abständen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
habe euer Forum schon über längere Zeit beobachtet und gelesen, allerdings bisher keine Lösung für mein Problem gefunden.
Wir haben vor kurzem die Berechnung von Abständen mit Hilfe eines Lotfußpunktes gelernt. Nun lautet unsere nächste Aufgabe folgendermaßen:
Gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten
A (7/-3/-3)
B (9/7/8)
C (1/3/0)
Nun soll der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet werden.
Erste konkrete Aufgabe, und damit meine Aufgabe, lautet:
Berechnung einer Dreieckshöhe (Abstand eines Eckpunktes von der Gegenseite eines Dreiecks)
Und genau ab da komm ich nicht mehr weiter. Vorher hatten wir noch eine Aufgabe in der noch eine Geradengleichung vorhanden war, aber jetzt versteh ich nur noch Bahnhof.
Bitte dringend um Hilfe, danke schön :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ciao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 So 04.09.2005 | | Autor: | Disap |
> Hallo,
Servus.
> habe euer Forum schon über längere Zeit beobachtet und
> gelesen, allerdings bisher keine Lösung für mein Problem
> gefunden.
>
> Wir haben vor kurzem die Berechnung von Abständen mit Hilfe
> eines Lotfußpunktes gelernt. Nun lautet unsere nächste
> Aufgabe folgendermaßen:
>
> Gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten
>
> A (7/-3/-3)
> B (9/7/8)
> C (1/3/0)
>
> Nun soll der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet werden.
>
> Erste konkrete Aufgabe, und damit meine Aufgabe, lautet:
>
> Berechnung einer Dreieckshöhe (Abstand eines Eckpunktes von
> der Gegenseite eines Dreiecks)
>
> Und genau ab da komm ich nicht mehr weiter. Vorher hatten
> wir noch eine Aufgabe in der noch eine Geradengleichung
> vorhanden war, aber jetzt versteh ich nur noch Bahnhof.
>
Berechnen von Abständen... In diesem Fall hast du ja schon gesagt, wie die Aufgabe konkret lautet, und zwar die Höhe zu Berechnen mithilfe des Punktes C und der Gegenseite des Dreiecks.
Lautet die Flächeninhaltsformel für das Dreieck,
$A = 0.5*g*h$
so ist g in diesem Fall [mm] \overrightarrow{AB}. [/mm] Wenn du dir mal ein Dreieck zeichnest, siehst du, dass der Vektor AB die Grundseite bzw. "Gegenseite des Punkts C" ist.
Nun ist es von nöten, daraus eine Geradengleichung zu erstellen, damit du von dieser Gerade den Abstand zum Punkt C ermitteln kannst.
Die Geradengleichung lautet demnach:
g: [mm] \vec{x}= \overrightarrow{0A}+ \lambda\overrightarrow{AB}
[/mm]
Nun gibt es für Abstand Punkt-Gerade- Geschichten eine Fertigformel:
(g: [mm] \vec{x}-\overrightarrow{0C} )*\overrightarrow{AB} [/mm] = 0
Das muss man jetzt nur noch ausrechnen und man erhält [mm] \lambda [/mm] = ...
Dies setzt man in die Geradengleichung wieder ein und erhält einen Punkt F, den sogenannten Fusspunkt.
Zum Schluss noch den Betrag des Vektor FC und du hast die Höhe - mathematischer formuliert:
[mm] |\overrightarrow{FC}|=...
[/mm]
> Bitte dringend um Hilfe, danke schön :)
>
Falls es unverständlich war, einfach noch einmal nachfragen, ansonsten kansnt du zur Sicherheit deine Ergebnisse ja mal von uns überprüfen lassen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ciao
mfG Disap
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Vielen dank, du hast mir ziemlich weitergeholfen. Hab mir schon gedacht das ich ja mal selber die Geradengleichung aufstellen könnte, bin aber ziemlich unsicher in Mathe.
Nun noch eine weitere Frage. Du sprachst ja von einer "fertigen Formel" für die Abstandsgeschichte. Ich hab da auch noch was im Hinterkopf, soweit ich weiss hat die ja was mit den beiden Bedingungen für den Lotfußpunkt zu tun, also zum einen das er auf der Gegenseite liegt und zum anderen noch irgendetwas mit dem Skalarprodukt.
Und genau ab da verlier ich wieder meine Erkenntnis. Wie stellt man jetzt genau diese Formel auf ?
Vielen dank im vorraus, die bereits gegebene Antwort war mir schon eine große Hilfe und reicht mir die Aufgabe zu berechnen, nur würde ich noch gerne diesen einen Knackpunkt verstehen, der für andere vielleicht etwas einsichtiger ist als für mich. ^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 So 04.09.2005 | | Autor: | Disap |
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> Nun noch eine weitere Frage. Du sprachst ja von einer
> "fertigen Formel" für die Abstandsgeschichte. Ich hab da
> auch noch was im Hinterkopf, soweit ich weiss hat die ja
> was mit den beiden Bedingungen für den Lotfußpunkt zu tun,
> also zum einen das er auf der Gegenseite liegt und zum
> anderen noch irgendetwas mit dem Skalarprodukt.
Um dir dir Formel ganz grob herzuleiten:
beim Berechnen des Abstands eines Punktes C zu einer Geraden g: [mm] \vec{x}, [/mm] so hat der geringste Abstand etwas mit einem rechten Winkel zu tun. D.h. zwei Vektoren sind senkrecht zu einander:
[mm] \vec{u}* \vec{v}=0
[/mm]
Wir haben eine Gerade gegeben, de den Richtungsvektor: [mm] \vec{u} [/mm] hat. Das Problem ist nun, wie kommt nun der Vektor: [mm] \vec{v} [/mm] zu stande? Das hat etwas mit dem Lotfusspunkt F zu tun, der mit dem Punkt C wiederum einen Vektor bildet.
Du hast es schon angesprochen, zwei Vektoren stehen senkrecht zu einander. Das heisst, dass sich diese beiden Vektoren auch schneiden. Und hier kommt der Lotfusspunkt ins Spiel. Es ist genau der Punkt, in dem sich [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] schneiden. Und was kann man jetzt schon konkretes sagen, wo sich der Lotfusspunkt F befindet? Auf der gegeben Geraden g: [mm] \vec{x}! [/mm] D.h. Vektor: [mm] \vec{v} [/mm] ist nun (weitgehenst) bekannt:
[mm] \vec{v} [/mm] = CF
F (Lotfusspunkt) ist ein Punkt der geraden, also: [mm] g:\vec{x}= \overrightarrow{0A}+\lambda\overrightarrow{AB} [/mm]
eingesetzt in [mm] \vec{v} [/mm] = CF
[mm] \vec{v} [/mm] = [mm] g:\vec{x}-C
[/mm]
> Und genau ab da verlier ich wieder meine Erkenntnis. Wie
> stellt man jetzt genau diese Formel auf ?
>
(Die Gerade lautet: [mm] g:\vec{x}= \overrightarrow{0A}+\lambda\overrightarrow{AB} [/mm] )
Wie oben erwähnt, war der Richtungsvektor der Geraden [mm] \vec{u} [/mm] und somit ergibt sich für den Abstand:
[mm] \vec{u}*\vec{v}=0
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}*(g:\vec{x}-C)=0
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}*(\overrightarrow{0A}+\lambda\overrightarrow{AB}-C)=0
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}*(\overrightarrow{0A}-\overrightarrow{0C}+\lambda\overrightarrow{AB}=0
[/mm]
> ...
Wie man das Skalarprodukt berechnet, dürfte dir ja bekannt sein bzw. wie man nun diesen Ausdruck auflöst?!
Da der Server des Matheraums so mieserabel ist, arbeite ich ungerne mit irgendwelchen Bildern, aber im Web findet man zu so einem Abstandspielchen auch gute Erklärungen mit netten Bildchen. Aber evtl. hat dir dieser kleine Einblick ja auch schon etwas verständlich gemacht.
Liebe Grüße Disap
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