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Berechne das Integral: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:17 Mi 09.10.2019
Autor: bondi

Aufgabe
Berechne das folgende Integral: [mm] \integral \bruch{1}{t^2+9}dt [/mm]



Hallo,
ich steige bei der Aufgabe noch nicht ganz durch. Unser Tutor hat seine Lösung geschickt.

[mm] \integral \bruch{1}{t^2+9}dt [/mm]

[mm] \integral \bruch{1}{9u^2+9}3du = \bruch{1}{3} \integral \bruch{1}{u^2+1} = \integral \bruch{1}{9u^2+9}3du = \bruch{1}{3} arctan(x)[/mm]


resubstituieren: [mm] \bruch{1}{3} \medspace arctan ( \bruch{t}{3} ) + C [/mm]

Ich habe mir die Aufgabe auf []integralrechner.de
angeschaut. Da steht:

Substituiere [mm] u = \bruch{t}{3} \medspace \rightarrow \bruch{du}{dt} = \bruch{1}{3} \medspace \rightarrow dt = 3du [/mm]

Dass [mm] dt = 3du [/mm] ist klar. Aber wie kommt er auf [mm] u = \bruch{t}{3} \medspace [/mm]

        
Bezug
Berechne das Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:17 Mi 09.10.2019
Autor: fred97

Wenn man dieses Integral $ [mm] \integral \bruch{1}{t^2+9}dt [/mm] $ sieht, sollte man sofort an [mm] \arctan [/mm] denken !

$ [mm] \integral \bruch{1}{t^2+9}dt= \frac{1}{9} \int \frac{1}{1+ \frac{t^2}{9}} [/mm] dt= [mm] \frac{1}{9} \int \frac{1}{1+ (\frac{t}{3})^2} [/mm] dt$.

So, nun denken wir an: $( [mm] \arctan [/mm] x)'= [mm] \frac{1}{1+x^2}$. [/mm] Damit ist die Substitution $u=t/3$ naheliegend. Damit erhalten wir

$ [mm] \integral \bruch{1}{t^2+9}dt= \frac{1}{9} \int \frac{1}{1+ u^2} [/mm] 3 [mm] du=\frac{1}{3} \int \frac{1}{1+ u^2} [/mm]  du= [mm] \frac{1}{3} \arctan u+C=\frac{1}{3} \arctan(t/3)+C.$ [/mm]

Bezug
                
Bezug
Berechne das Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 Do 10.10.2019
Autor: bondi

Danke Fred :)

Ich bin nur noch nicht dahinter gestiegen, weshalb [mm] \bruch{du}{dt} = \bruch{1}{3} [/mm] sind.

Bezug
                        
Bezug
Berechne das Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 Do 10.10.2019
Autor: fred97


> Danke Fred :)
>  
> Ich bin nur noch nicht dahinter gestiegen, weshalb
> [mm]\bruch{du}{dt} = \bruch{1}{3}[/mm] sind.

Hä ? Oben hast Du geschrieben, dass Dir das klar sei ....  ??

Wir haben $u=u(t)= [mm] \frac{t}{3}$. [/mm]  Dann ist $u'(t)= [mm] \bruch{du}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}.$ [/mm]


Bezug
                                
Bezug
Berechne das Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:36 Fr 11.10.2019
Autor: bondi

Alles gut. Hab [mm] du [/mm] und [mm] dt [/mm] verwechselt.

Danke :)

Bezug
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