Beispielaufgabe Eigenschaften < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Do 03.04.2014 | | Autor: | MietzeK |
| Aufgabe | [mm] (a,b)\inR \gdw [/mm] a<b
Prüfen Sie die Eigenschaften der Relation (binär, homogen). |
Hallo!
Bei uns wurde in der Vorlesung diese Aufgabe gelöst. Ich verstehe die Lösung aber nicht ganz. Ich versuche mal meine Gedankengänge zu formulieren und wäre froh, wenn mir dort jemand helfen könnte wo ich nie weiter komme bzw falsches korrigiert.
Ich steige leider bei Relationen noch nicht so durch aber arbeite dran ;)
R ist nicht reflexiv, denn Reflexiv wenn [mm] (a,a)\inR [/mm] R und dass kann nicht sein, weil (a, b) in der Menge sind und nicht (a,a) ?
R ist irreflexiv weil nicht (a,a) drin ist
R ist nicht symetrisch, weil nicht aus (a,b) (b,a) folgt.
! Jetzt habe ich mir in der Vorlesung aufgeschrieben, dass a und b auch zwei gleiche Elemente sein könnten und es somit antisymetrisch aber auch asymetrisch ist. Jedoch verstehe ich es nicht ganz...
Ist es deswegen auch trichoton und nicht linear?
Ich verstehe leider auch nicht, warum es transitiv sein soll. Transitiv bedeutet ja, dass aus (a,b) und (b,c) (a,c) folgt. Kann man es damit erklären, wenn zb a<b ist und b<c dann ist a<c?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Do 03.04.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> [mm](a,b)\inR \gdw[/mm] a<b
> Prüfen Sie die Eigenschaften der Relation (binär,
> homogen).
>
> Hallo!
> Bei uns wurde in der Vorlesung diese Aufgabe gelöst. Ich
> verstehe die Lösung aber nicht ganz. Ich versuche mal
> meine Gedankengänge zu formulieren und wäre froh, wenn
> mir dort jemand helfen könnte wo ich nie weiter komme bzw
> falsches korrigiert.
> Ich steige leider bei Relationen noch nicht so durch aber
> arbeite dran ;)
>
> R ist nicht reflexiv, denn Reflexiv wenn [mm](a,a)\inR[/mm] R und
> dass kann nicht sein, weil (a, b) in der Menge sind und
> nicht (a,a) ?
R nicht reflexiv ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wichtig: eine Relation $S [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \times [/mm] M$ ist reflexiv, genau dann wenn $(a,a) [mm] \in [/mm] S \ [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] M$.
>
> R ist irreflexiv weil nicht (a,a) drin ist
und zwar für alle a.
>
> R ist nicht symetrisch, weil nicht aus (a,b) (b,a) folgt.
>
> ! Jetzt habe ich mir in der Vorlesung aufgeschrieben, dass
> a und b auch zwei gleiche Elemente sein könnten und es
> somit antisymetrisch aber auch asymetrisch ist. Jedoch
> verstehe ich es nicht ganz...
$S [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \times [/mm] M$ antisymmetrisch [mm] $\gdw \forall [/mm] a, b [mm] \in [/mm] M: (a,b) [mm] \in [/mm] S [mm] \wedge [/mm] (b,a) [mm] \in [/mm] S [mm] \Rightarrow [/mm] a = b$
Da bei R aus (a,b) [mm] $\in$ [/mm] R, folgt (b,a) [mm] $\not\in$ [/mm] R gibt es keine a,b mit
$(a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (b,a) [mm] \in [/mm] R$, also ist die Folgerung daraus erfüllt.
Deshalb ist R antisymmetrisch.
$S [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \times [/mm] M$ asymmetrisch [mm] $\gdw \forall [/mm] a, b [mm] \in [/mm] M: (a,b) [mm] \in [/mm] S [mm] \Rightarrow [/mm] (b,a) [mm] \not\in [/mm] S$
R erfüllt dies, ist deshalb asymmetrisch.
>
> Ist es deswegen auch trichoton und nicht linear?
R ist trichotom.
EDIT:
falsch: ([mm] S \subseteq M \times M [/mm] trichotom [mm] $\gdw \forall [/mm] a, b [mm] \in [/mm] M, a [mm] \not= [/mm] b: (a,b) [mm] \in [/mm] S [mm] \Rightarrow [/mm] (b,a) [mm] \not\in [/mm] S$)
[mm] S \subseteq M \times M [/mm] trichotom [mm] $\gdw \forall [/mm] a, b [mm] \in [/mm] M, a [mm] \not= [/mm] b: (a,b) [mm] \in [/mm] S [mm] \gdw [/mm] (b,a) [mm] \not\in [/mm] S$
Sorry, hatte ich übersehen.
Lineare oder nicht lineare Relationen kenne ich nicht.
>
> Ich verstehe leider auch nicht, warum es transitiv sein
> soll. Transitiv bedeutet ja, dass aus (a,b) und (b,c)
> (a,c) folgt. Kann man es damit erklären, wenn zb a<b ist
> und b<c dann ist a<c?
Ja, genau.
>
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Do 03.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> [mm]S \subseteq M \times M[/mm] trichotom [mm]\gdw \forall a, b \in M, a \not= b: (a,b) \in S \Rightarrow (b,a) \not\in S[/mm]
Hier soll es sicherlich rechts sicherlich [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] anstelle von [mm] $\Rightarrow$ [/mm] heißen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Fr 04.04.2014 | | Autor: | MietzeK |
Vielen Danke für deine Mühe meili. Ich bin euch allen unheimlich dankbar! Ich mache Mathe unfreiwillig, weil es bei uns zum Lehramtsstudium dazugehört und es fiel mir immer sehr schwer. Im Abi habe ich nur eine 4 geschafft. Nun bemühe ich mich jedoch unwahrscheinlich, um meinen Traum Lehrerin zu werden zu verwirklichen und es funktioniert, auch durch eure Hilfe. Meine erste Matheklausur, bei der über 60 % durchgefallen sind habe ich mit 2 bestanden und bin stolz darauf, weil sich der Fleiß endlich auszeichnet!
R ist irreflexiv weil nicht (a,a) drin ist
und zwar für alle a.
und zwar für alle a.
"R ist irreflexiv weil nicht (a,a) drin ist
und zwar für alle a. "
Bedeutet "und zwar für alle a", dass eine Relation nur reflexiv ist, wenn nur (a,a) vorkommt? Also z.B. R:((1,1);(2,2)) aber z.B. R:((1,1), (2,2), (1,2)) ist dann irreflexiv oder? Spricht man bei z.B. (1,1) von dem Elementen der Relation?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Fr 04.04.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Vielen Danke für deine Mühe meili. Ich bin euch allen
> unheimlich dankbar! Ich mache Mathe unfreiwillig, weil es
> bei uns zum Lehramtsstudium dazugehört und es fiel mir
> immer sehr schwer. Im Abi habe ich nur eine 4 geschafft.
> Nun bemühe ich mich jedoch unwahrscheinlich, um meinen
> Traum Lehrerin zu werden zu verwirklichen und es
> funktioniert, auch durch eure Hilfe. Meine erste
> Matheklausur, bei der über 60 % durchgefallen sind habe
> ich mit 2 bestanden und bin stolz darauf, weil sich der
> Fleiß endlich auszeichnet!
>
> R ist irreflexiv weil nicht (a,a) drin ist
>
> und zwar für alle a.
> und zwar für alle a.
> "R ist irreflexiv weil nicht (a,a) drin ist
> und zwar für alle a. "
>
> Bedeutet "und zwar für alle a", dass eine Relation nur
> reflexiv ist, wenn nur (a,a) vorkommt? Also z.B.
> R:((1,1);(2,2)) aber z.B. R:((1,1), (2,2), (1,2)) ist dann
> irreflexiv oder? Spricht man bei z.B. (1,1) von dem
> Elementen der Relation?
Ja, bei z.B. (1,1) kann man von einem Element der Relation sprechen.
Wenn z.B. R eine homogene, zweistellige Relation auf [mm] $\IN$ [/mm] ist, so ist
$R [mm] \subseteq \IN \times \IN$.
[/mm]
$R [mm] \subseteq \IN\times \IN$ [/mm] reflexiv $ [mm] \gdw \forall [/mm] a [mm] \in \IN [/mm] : (a,a) [mm] \in [/mm] R$
Das meine ich mit alle. R kann auch noch andere Paare enthalten,
z.B. (1,2), (5,10), ... u.s.w. und ist trozdem reflexiv.
Bei irreflexiv darf kein einziges (a,b) mit a = b enthalten sein.
Es gibt auch Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind,
wenn sie ein (oder einige ) (a,a) enthalten, aber nicht alle.
>
>
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Sa 05.04.2014 | | Autor: | MietzeK |
DANKE SCHÖN! Ich glaube, ich habe das jetzt verstanden!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Do 03.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo MietzeK!
> [mm](a,b)\in R \gdw[/mm] a<b
> Prüfen Sie die Eigenschaften der Relation (binär,
> homogen).
Auf welcher Menge soll die Relation überhaupt definiert sein?
Vermutlich auf der Menge der reellen Zahlen oder einer Teilmenge davon?
Poste bitte die vollständige Aufgabenstellung.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Fr 04.04.2014 | | Autor: | MietzeK |
Entschuldige, die Aufgabe bezieht sich auf die natürlichen Zahlen.
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