Begrenztes Wachstum < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Do 31.05.2012 | | Autor: | Marine |
| Aufgabe | Milch mit einer Temperatur von 6°C wird aus dem Kühlschrank genommen und in einen 25°C warmen Raum gestellt. Pro Minute erwärmt sie sich um 12% der noch herrschenden Temperaturdifferenz zur Raumtemperatur.
Ermitteln sie:
(1) eine Gleichung für die Erwärmungsgeschwindigkeit
(2) einen Term für die Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit
(3) den Temperaturverlauf |
Hallo. Ich muss im Matheunterricht nun ein Referat zu einem mir völlig unbekanntem Thema halten, um einen Fehlkurs zu verhindern. Das Referat habe ich nun fertig nur muss ich zusätzlich noch diese Aufgabe lösen und kriege sie einfach nicht hin.
Bei (1) habe ich einen Versuch, der aber bestimmt falsch ist. Könntet ihr mir helfen?
hier erstmal mein Ansatz bei (1)
f(t)= 25 - 19*e^-0,12t
Vielen Dank im Vorraus. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Nun, um vorneweg gleich ganz ehrlich zu sein: da hast du so einiges falsch verstanden oder nicht mitbekommen.
Zunächst einmal darf man - und das ist ja auch ein Stück weit eine physikalische Argumentation - annehmen, dass bei einer hinreichend großen Umgebung mit konstanter Temperatur folgende Vereinfachungen gemacht werden dürfen:
- Die Milch erwärmt sich zwar, aber die Umgebungstemperatur bleibt konstant (streng genommen muss sie niedriger werden, wenn auch nur wenig!).
- Sicherlich wird die Erwärmungsgeschwindigkeit größer sein, so lange die Temperaturdifferenz groß ist und kleiner werden, wenn diese Differenz kleiner wird (denn alles ander wäre Unsinn: die Milch würde sich sonst u.U. ständig weitererwärmen, auch wenn die Umgebungstemperatur längst überschritten ist). In guter Näherung nimmt man daher an, dass die Erwärmungsgeschwindigkeit proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Raum und Milch ist.
In letztgenannter Differenz steckt jedoch die aktuelle Temperatur noch drin, und das ist ja die Crux an der Geschichte. Eine sinnvolle Lösung sieht grob so aus:
f(t): Temperatur der Milch zum Zeitpunkt t.
f'(t): Erwärmungsgeschwindigkeit der Milch zum Zeitpunkt t (->Stichwort Momentane Änderungsrate!).
Diese beiden musst du in eine sinnvolle Gleichung bekommen, ohne dass du sie kennst. Eine solche Gleichung nennt man (gewöhnliche lineare) Differenzialgleichung 1. Ordnung. Und eine solche DGL aufzustellen, das ist genau bei 1) gefragt; in deinen Unterlagen wird garantiert die Vorgehensweise erläutert sein.
Die Lösung dieser DGL wäre theoretisch das, was in 2) gefragt ist. Nun ist aber das LÖsen von DGLen nicht, ich wiederhole: nicht Gegenstand der Schulmathematik. Die Lösung der enstandenen DGL müsst ihr gelernt haben, oder sie steht in deinen Unterlagen. Diese Lösung muss von der Form
[mm] f(t)=S-c*e^{-k*t}
[/mm]
sein, also im Prinzip das, was du fäschlicherweise für die Erwärmungsgeschwindigkeit genommen hast.
Aufgabenteil 3) soll, so verstehe ich es, die charakteristischen Eigenschaften der Funktion aus 2) herausarbeiten. Wenn du wiederum in deinen Unterlagen mal nach dem Begriff des Beschränkten Wachstums suchst, wirst du da auch schnell fündig werden. Die beiden wichtigsten Eigenschaften sind dabei IMO
- die Monotonie
- die waagerechte Asymptote
Beides sollte dann noch mathematisch nachgewiesen werden.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Do 31.05.2012 | | Autor: | Marine |
vielen Dank schonmal für die Antwort. Das Problem ist nur, dass ich keine Unterlagen bekommen habe. Ich habe lediglich das Thema begrenztes Wachstum bekommen und die Aufgabe und nun soll ich mir das Thema selber erarbeiten:( ich verzweifel wirklich.
könnten sie mir noch sagen, was ich für k bei Aufgabe 2 einsetzten muss? dann würde ich den Rest nochmal versuchen.
Nochmal vielen Dank!
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Hallo,
für die Temperatur zum Zeitpunkt t [t in Minuten] ist der Ansatz
[mm]f(t)=25-19*e^{-k*t}[/mm]
ja der richtige. Um k zu bestimmen, berechne die Temperatur der Milch nach einer Minute. Das geht ohne Funktion, nur mit den Angaben aus der Aufgabenstellung. Denn die Temperaturdifferenz muss ja um 12% abgenommen haben. Wie hoch ist die Temperaturdifferenz zu Beginn? Wie viel sind 12% davon? 6°C plus dieser Wert ergibt die Temperatur f(1) [Temperatur der Milch nach einer Minute]. Damit ergibt sich für k die Bestimmungsgleichung
[mm] 25-19*e^{-k*1}=f(1)
[/mm]
Und die könntest du ja mal selbst versuchen zu lösen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Do 31.05.2012 | | Autor: | Marine |
vielen dank!
dann wäre k 8,28 , richtig?
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Hallo,
nein (bitte Hinweise gründlicher lesen!). Was du berechnet hast ist
f(1)=8.28
und k bekommst du mit der von mir oben angegebenen Gleichung.
Es ist übrigens sinnvoller, gegebene Tipps erstmal gründlich durchzuarbeiten und zu versuchen, sie umszusetzen. Es ist überhaupt kein Problem, wenn es etwas länger dauert, bis deine nächste Rückfrage kommt. Mathematik braucht Zeit. 
Gruß, Diophant
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:10 Do 31.05.2012 | | Autor: | Marine |
tut mir leid, ich versuche es ja. aber mein mathematischen Verständnis ist gleich o . :( ich werde es jetzt nochmal versuchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Do 31.05.2012 | | Autor: | Marine |
6,72°C hat die milch nach einer minute und das ist dann k?
tut mir leid, wenn ich es nicht hinbekomme.
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Hallo,
> 6,72°C hat die milch nach einer minute und das ist dann k?
weder hat die Milch nach einer Minute diese Temperatur, noch ist das k.
Nochmal: die Temperatur der Milch nach einer Minute hast du bereits ausgerechnet. Sie ist 8.28°C und das ist damit der Wert der Funktion f an der Stelle 1, also f(1). Und den setzt du jetzt an entsprechnender Stelle in die Gleichunjg ein, die ich dir gegeben habe und löst diese Gleichung nach k auf.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Do 31.05.2012 | | Autor: | Marine |
und noch ein versuch meinerseits:
k= -2,01?
danke für ihre geduld!
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Hallo,
es macht doch keinen Sinn, wenn du ständig mit irgendwelchen Zahlen um dich schmeißt. Gib die zugehörige Rechnung an, dann kann man vernünftig Hilfestellung leisten. Dein Wert für k ist nämlich völlig aus der Luft gegriffen und insbesondere falsch.
Wie hast du denn die Gleichung aufgelöst?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Do 31.05.2012 | | Autor: | Marine |
25-19*e^-k*1 | -25
-19*e^-k*1 = -25 | +19
e^-k*^1 = -6 | [mm] /e^1
[/mm]
so hab ich das gemacht. was ja offentsichtlich falsch ist
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Hallo,
wenn du ein wenig aufmerksamer lesen würdest, was man dir rät, dann wären wir jetzt schon ein Stück weiter. Deine Rechnung fängt noch nichteinmal mit einer Gleichung an, sondern mit einem Term. Ich sagte dir doch, du sollst die 8.28 für f(1) in die angegebene Gleichung einsetzen.
> 25-19*e^-k*1 | -25
> -19*e^-k*1 = -25 | +19
Hier hast du jetzt plötzlich - woher auch immer - doch eine Gleichung aus dem Hut gezaubert, allerdings eine völlig sinnfreie:
> e^-k*^1 = -6 | [mm]/e^1[/mm]
[mm] e^x [/mm] ist imme rgößer als Null, d.h., bei so einem Zwischenresultat muss man nicht mehr weitermachen: es ist falsch. Und das nächste ist dein Versuch
[mm] e^{-k}=c
[/mm]
nach k aufzulösen. Der ist auch völlig falsch; es braucht hier natürlich den Logarithmus, und das geht so:
[mm] e^{-k}=c [/mm] <=>
-k=ln(c) <=>
k=-ln(c)
Wenn du einen ehrlichen Rat nicht zurückweist: deine Lücken sind derart eklatant, dass ich dir dringend raten würde, zu erst einmal gründlich Exponential- und Logarithmusfunktionen und deren Zusammenhang zu studieren, bevor du mit dieser Aufgabe weitermachst.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Do 31.05.2012 | | Autor: | Marine |
Ich hatte diese ganzen themen ja noch nicht, dass ist ja das problem wie ich sagte. sie werden langsam wirklich unfreundlich. wenn es ihnen zu anstrengend ist, dann lassen sie es einfach.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Do 31.05.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marine!
"Jeder ist seines Glückes Schmied", so sagt man ja.
Deinen Vorwurf, ich wäre unfreundlich gewesen, möchte ich hiermit entschieden zurückweisen. Ich bin nur sehr erstaunt über bestimmte Arbeitsweisen, die immer mehr Raum greifen, sowohl in der Schule als auch im universitären Bereich. Man könnte das unter dem Begriff Oberflächlichkeit subsummieren und ich werde in meinem Beruf auch immer mehr damit konfrontiert. Daher kann ich aus meiner langjährigen Erfahrung als letzten Ratschlag geben, dass man in der Mathematik viel Gründlichkeit und Objektivität/Kritikfähigkeit benötigt, sonst kommt man insbesondere mit schwierigeren Aufgabenstellungen und Themen kein Stück weiter.
Für die Tatsache, dass du mit dieser Aufgabe überfordert bist, kann ich nichts. Wie du damit umgehst, das ist ganz allein deine Sache. Aber ein Matheforum ist nicht dazu da, sich Stoff anzueignen, den man noch nicht kennt. Nicht weil wir das nicht wollen, sondern weil das die Möglichkeiten eines solchen Forums bei weitem übersteigt.
Aber wie gesagt: jeder ist seines Glückes Schmied. 
Gruß, Diophant
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Hallo Marine,
Du kannst ansetzen: [mm] $f(t)=25-19*e^{-m*t}$
[/mm]
Prüfe, ob die Funktion für t=0 ein richtiges Ergebnis liefert:
[mm] $f(t=0)\; [/mm] = [mm] \; 25-19*e^{0}\; [/mm] = [mm] \; [/mm] 6$
Das ist also schon einmal richtig.
Nun ist [mm] $\Delta [/mm] T$ für t=0 gleich 19 K .
12% von 19 K sind 2,28 K.
Nach einer Minute hat sich die Temperatur von 6°C auf 8,28°C erhöht.
Damit kannst Du [mm] e^{-m} [/mm] bestimmen:
[mm] $f(t=1)=25-19*e^{-m*1}=8,28$
[/mm]
[mm] $-19*e^{-m*1}\; [/mm] = [mm] \; [/mm] -16,72$
[mm] $e^{-m*1}\; [/mm] = [mm] \; [/mm] 0,88$
Damit kannst Du schon schreiben:
[mm] $f(t)=25-19*0,88^{t}$
[/mm]
Oder, wenn Du möchtest:
$m [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] -ln(0,88) [mm] \; \approx [/mm] 0,1278334$
[mm] $f(t)=25-19*e^{-0,1278334*t}$
[/mm]
Alles ohne Gewähr.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Do 31.05.2012 | | Autor: | Marine |
Vielen Dank. Das hat mir wirklich sehr geholfen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Di 05.06.2012 | | Autor: | Marine |
hallo (: die Aufgabe musste ich lösen, mein Lehrer hat mir nun jedoch Notizen an den Rand geschrieben, an denen ich wieder einmal verzweifel.
Also bei der Aufgabe (2) ist die Lösung ja v(t)= 25-19e ^0,12t
da dies ja auch die Lösung der in (1) aufgestellten Differenzialgleichung ist.
Nun soll ich jedoch exemplarisch aufzeigen, dass die Gleichung von (1) wirklich eine Lösung der Differenzialgleichung ist. Als Tipp hierzu nannte er mit das Ableiten.
Hat jemand vllt einen Tipp für mich?
Vielen Dank schonmal!
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Hallo,
zunächst mal: weshalb hast du die Differenzialgleichung nicht angegeben? So kann man wieder nur im Nebel stochern, wenn man dir helfen möchte und zwar zielführend.
In dieser Differentialgleichung kommt ja die Funktion selbst sowie ihre Ableitung vor. Dein Lehrer hat dir nun geraten, die mittlerweile ermittelte Funktion zunächst abzuleiten. Hernach setzt du für f(x) die Funktion und für f'(x) die Ableitung ein um zu prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist in dem Sinn, das rechts und links das gleiche steht.
Das ist jetzt die komplette Antwort auf deine Frage. Wenn dir daran etwas unklar ist, dann frage gerne zurück, beschreibe aber präzise, was dir unklar ist und gib die Differenzialgleichung unbedint an: immerhin könnte es sein dass sie noch Fehler enthält.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Di 05.06.2012 | | Autor: | Marine |
also die differenzialgleichung lautet: v(t)-25= [mm] (v(0)-25)e^0,12t
[/mm]
also die gleichung für die erwärmungsgeschwindigkeit wäre ja
v´(t)= -0,12 (v(t)-25) wobei die Ableitung, also v´(t) gleich (v(t) -25) wäre, ist das soweit richtig?
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Hallo,
die schlechte Nachricht: das, was du als Differenzialgleichung bezeichnest, ist keine; ich kann nicht nachvollziehen, was das sein soll.
Die gute Nachricht: das, was du als 'Gleichung für die Erwärmungsgeschwindigkeit' angegben hast, das ist in Wirklichkeit die Differenzialgleichung und sie ist prinzipiell richtig, aber ungünstig aufgeschrieben. schreibe besser:
f'(t)=0.12*(25-f(t))
und runde den vorfaktor k besser auf 4 Nachkommastellen, wenn du nachher einigermaßen genaue Rechenergebnisse erzielen willst.
Setze nun f und f' ein wie besprochen.
ich möchte allerdings noch einen gravierenden Verständnisfehler deinerseits versuchen zu beheben: die erste Ableitung der Temperaturfunktion ist bereits die Erwärmungsgeschwindigkeit!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Do 07.06.2012 | | Autor: | Marine |
Hallo.
ich habe eine neue Frage und wollte sie fragen, ob sie mir weiterhelfen könnten, da ich ihre letzte Erklärung so gut verstanden habe!
Vielen Dank schonmal! (:
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Do 31.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Herangehenswise:
um mit dem Problem vertraut zu werden berechne erst mal punktweise die Temp nach 1,2,3.. Minuten.
etwa: anfang [mm] 6^o \Delta T=25-6=19^o, [/mm] Temperaturaenderung [mm] 0.12*19^o=2.28^o [/mm] neue Temperatur [mm] 8.28^o
[/mm]
2. Minute du, dann dritte.
was ist jetzt die Temperaturaenderung pro Minute?
Wenn du das hast ueberlege allgemeiner: wenn man die Temperatur zu einer zeit t weiss also T(t) kennt, wie kannst du dann die neue Temperatur bei t+dt ausrechnen?
und die Geschwindigkeit (T(t+dt)-T(t))/dt=T'
wen du das hast, hast du die Differentialgl. Ob in deiner aufgabe mitdrinsteckt die zu loesen weiss ich nicht, kann aber wohl sein.
kurz aber da steht alles in ![[]](/images/popup.gif) klick
Analysis, darin Wachstumsfunktionen: PDF, 2 S.
Differentialgleichungen: 88 kB, PDF, 3 S.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Do 31.05.2012 | | Autor: | Martinius |
Hallo Diophant,
ich wollte nur kurz schreiben, dass damals, in meinem Mathematikunterricht, Abi-Jahrgang 1986, in der Oberstufe in Baden-Württemberg - leider nur Grundkurs - das Verfahren "Trennung der Variablen" behandelt wurde.
Und dann hatte ich mir vor kurzer Zeit, auf einen Ratschlag von leduart hin, aktuelle Schulbücher gekauft für den LK Mathematik. Einfach um einmal zu sehen, was meine Mitschüler im LK Mathematik mir damals voraus hatten.
Der Schroedel-Verlag hat da 3 Bücher für den 5-stündigen Mathe-LK im Angebot; eines davon, das Analysis-Buch, ist:
http://www.amazon.de/s/ref=nb_sb_noss?__mk_de_DE=%C5M%C5Z%D5%D1&url=search-alias%3Daps&field-keywords=9783507839342&x=0&y=0
Darin werden auf 11 Seiten Differentialgleichungen behandelt. U. a. die DGL des begrenzten Wachstums: Aufstellen der Differentialgleichung und Lösung derselben.
Das Buch ist bei Amazon gebraucht im Angebot, z.Zt. für 27 Cent (+ 3,- Euro Porto & Verpackung).
Das Lösungsbuch hatte ich bei e-bay bekommen.
Für welches Bundesland dieses Buch gedacht ist weiß ich nicht mehr genau; evtl. Hamburg u. a.
In Baden-Württemberg gibt es ja keine 5-stündigen LKs mehr. Nur noch 4-stündige Mathekurse für alle.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Do 31.05.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Martinius,
in Baden-Württemberg ist das Lösen von DGLen ausdrücklich kein Unterrichts- und auch kein Prüfungsstoff (einzige mögliche Ausnahme, wo ich mir gerade unsicher bin, sind die Technischen Gymnasien). Die Bücher des Schrödel-Verlags sind ja gar nicht die schlechtesten, aber an den Lehr- bzw. heutzutage Bildungsplänen schrammen sie meiner Erfahrung nach doch oft deutlich vorbei.
Natürlich ist die Lehrkraft heutzutage freier in der Ausgestaltung des Unterrichts, aber man kann eigentlich eher froh sein, wenn die Konzepte der Differenzial- und Integralrechnung einigermaßen verstanden sind. Sprich: ich habe seit Inkrafttreten der Kursstufe 2002 keinen einzigen Nachhilfeschüler mehr gehabt, wo im Unterricht das Lösen von DGLen behandelt worden wäre.
Gruß, Diophant
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