Bedingungen für Sattelpunkt < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Do 10.01.2008 | | Autor: | M4rc |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=ax³+bx²+cx+d
Welche Bedingungen müssen a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] erfüllen, damit der Graph f einen Sattelpunkt enthält, der auf der x-Achse Liegt? |
Für einen Sattelpunkt auf der x Achse muss d in jedem Fall gleich null sein da d der Ordinaten abschnitt ist.
die erste sowie die 2 te Ableitung der Funktion müssen nach den bdg. für einen Sattelpunkt auch gleich 0 sein, auch die Funktion selbst muss für den Sattelpunkt gleich 0 sein weil dieser ja auf der x Achse liegt.
also:
ax³+bx²+cx=0
3ax²+2bx+c=o
6ax+2b=0
Beim lösen dieses Gleichungssystems komm ich immer nur darauf das abc=0 sind, was ja nun nicht wirklich sinn macht
Ist mein Ansatz Falsch, oder hab ich irgendwo einen denk Fehler gemacht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=ax³+bx²+cx+d
> Welche Bedingungen müssen a,b,c,d [mm]\in \IR[/mm] erfüllen, damit
> der Graph f einen Sattelpunkt enthält, der auf der x-Achse
> Liegt?
> Für einen Sattelpunkt auf der x Achse muss d in jedem Fall
> gleich null sein da d der Ordinaten abschnitt ist.
Warum bist Du sicher, dass dieser $y$-Achsenabschnitt (Ordinatenabschnitt) gerade die $y$-Koordinate des Sattelpunktes sein muss?
>
> die erste sowie die 2 te Ableitung der Funktion müssen nach
> den bdg. für einen Sattelpunkt auch gleich 0 sein, auch die
> Funktion selbst muss für den Sattelpunkt gleich 0 sein weil
> dieser ja auf der x Achse liegt.
>
> also:
>
> ax³+bx²+cx=0
> 3ax²+2bx+c=o
> 6ax+2b=0
>
> Beim lösen dieses Gleichungssystems komm ich immer nur
> darauf das abc=0 sind, was ja nun nicht wirklich sinn
> macht
>
> Ist mein Ansatz Falsch, oder hab ich irgendwo einen denk
> Fehler gemacht?
Ich glaube nicht, dass Du annehmen darfst, dass $d=0$ ist, weil die $x$-Koordinate des Sattelpunktes nicht notwendigerweise $0$ sein muss.
Ich würde an Deiner Stelle damit beginnen festzustellen, dass jedenfalls [mm] $a\neq [/mm] 0$ sein muss: andernfalls wäre die Polynomfunktion von zu kleinem Grad, als dass sie einen Sattelpunkt besitzen könnte.
Der Sattelpunkt muss mit dem einzigen Wendepunkt, den eine Polynomfunktion vom 3. Grad besitzen kann, zusammenfallen. Also folgt, aus $f''(x)=6ax+2b$, dass die $x$-Koordinate des Sattelpunktes gleich [mm] $x_S [/mm] := [mm] -\frac{2b}{6a}=-\frac{b}{3a}$ [/mm] sein muss.
Damit nun ein Sattelpunkt vorliegt, nicht etwa nur ein Wendepunkt, muss [mm] $f'(x_S)=0$ [/mm] sein. Zudem muss [mm] $f(x_S)=0$ [/mm] gelten, weil der Sattelpunkt auf der $x$-Achse liegen soll.
Durch Auflösen dieser beiden Gleichungen [mm] $f'(x_S)=0$ [/mm] und [mm] $f(x_S)=0$, [/mm] unter Verwendung von [mm] $a\neq\IR$ [/mm] und [mm] $b\in \IR$ [/mm] als freie Parameter, erhalte ich ein wesentlich anderes Ergebnis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Do 10.01.2008 | | Autor: | M4rc |
> > Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=ax³+bx²+cx+d
> > Welche Bedingungen müssen a,b,c,d [mm]\in \IR[/mm] erfüllen,
> damit
> > der Graph f einen Sattelpunkt enthält, der auf der x-Achse
> > Liegt?
> > Für einen Sattelpunkt auf der x Achse muss d in jedem
> Fall
> > gleich null sein da d der Ordinaten abschnitt ist.
>
> Warum bist Du sicher, dass dieser [mm]y[/mm]-Achsenabschnitt
> (Ordinatenabschnitt) gerade die [mm]y[/mm]-Koordinate des
> Sattelpunktes sein muss?
Da hab ich mich in eine falsche Annahme verrannt.
>
>
> >
> > die erste sowie die 2 te Ableitung der Funktion müssen nach
> > den bdg. für einen Sattelpunkt auch gleich 0 sein, auch die
> > Funktion selbst muss für den Sattelpunkt gleich 0 sein weil
> > dieser ja auf der x Achse liegt.
> >
> > also:
> >
> > ax³+bx²+cx=0
> > 3ax²+2bx+c=o
> > 6ax+2b=0
> >
> > Beim lösen dieses Gleichungssystems komm ich immer nur
> > darauf das abc=0 sind, was ja nun nicht wirklich sinn
> > macht
> >
> > Ist mein Ansatz Falsch, oder hab ich irgendwo einen denk
> > Fehler gemacht?
>
> Ich glaube nicht, dass Du annehmen darfst, dass [mm]d=0[/mm] ist,
> weil die [mm]x[/mm]-Koordinate des Sattelpunktes nicht
> notwendigerweise [mm]0[/mm] sein muss.
>
Bei meiner falschen Annahme wäre der Sattelpunkt nicht nur auf der X-Achse sonder auch im Ursprung, Oder?
> Ich würde an Deiner Stelle damit beginnen festzustellen,
> dass jedenfalls [mm]a\neq 0[/mm] sein muss: andernfalls wäre die
> Polynomfunktion von zu kleinem Grad, als dass sie einen
> Sattelpunkt besitzen könnte.
>
> Der Sattelpunkt muss mit dem einzigen Wendepunkt, den eine
> Polynomfunktion vom 3. Grad besitzen kann, zusammenfallen.
> Also folgt, aus [mm]f''(x)=6ax+2b[/mm], dass die [mm]x[/mm]-Koordinate des
> Sattelpunktes gleich [mm]x_S := -\frac{2b}{6a}=-\frac{b}{3a}[/mm]
> sein muss.
> Damit nun ein Sattelpunkt vorliegt, nicht etwa nur ein
> Wendepunkt, muss [mm]f'(x_S)=0[/mm] sein. Zudem muss [mm]f(x_S)=0[/mm]
> gelten, weil der Sattelpunkt auf der [mm]x[/mm]-Achse liegen soll.
> Durch Auflösen dieser beiden Gleichungen [mm]f'(x_S)=0[/mm] und
> [mm]f(x_S)=0[/mm], unter Verwendung von [mm]a\neq\IR[/mm] und [mm]b\in \IR[/mm] als
> freie Parameter
>, erhalte ich ein wesentlich anderes
> Ergebnis.
okay,
xs= b/3a hab ich nachvollzogen
jetzt setz ich das in f´und f ein
bekomme ich also:
b³/27a²+b³/27a²+cx+d = 2(b³/27a²)+cx+d =0
und
b²/9a+2b²/3a+c=0
dann hab ich 2 Gleichungen mit 4 variablen
>unter Verwendung von [mm]a\neq\IR[/mm] und [mm]b\in \IR[/mm] als
> freie Parameter
was mir das bringt bzw was ich hier mit anfangen soll, weiss ich gerade mal gar nicht und warum ist [mm] a\not\in\IR [/mm] dann heisst das doch da [mm] a=i=\wurzel{-1}
[/mm]
vermutlich hab ich unrecht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 Do 10.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. somebody hatte sich verschrieben! er meinte natürlich nicht [mm] a\neR [/mm] sondern [mm] a\ne0!
[/mm]
2. gibt es kein eindeutiges a,b,c ,d sondern nur einen Zusammenhang zwischen ihnen!
3. geht es auch anders:
du weisst dass [mm] x^3 [/mm] einen Sattelpunkt bei 0 hat. dann auch [mm] a*x^3.
[/mm]
wenn ich den Sattelpunkt nicht bei (0,0) haben will, kann ich noch verschieben und habe [mm] y=a(x-e)^3 [/mm] mit dem Sattelpunkt bei x=b
Wenn du das ausmultiplizierst hast du auch Ausdrücke für a,b,c,d
aber wie somebody es gezeigt hat, geht es auch schnell. nur bleibt natürlich kein x stehen du musst überall [mm] x_s [/mm] einsetzen.
ich denk dabei hast du noch Fehler gemacht.
[mm] f'=3ax^2+2bx+c [/mm] eingesetzt x=-b/3a
[mm] b^2/3a-2b^2/3a+c=0 [/mm] ergibt [mm] c=b^2/2a
[/mm]
jetzt noch in f einsetzen, da hast du auch nen Fehler, rechne nach! du kriegst dann d= nur noch a und b.
d.h. du kannst a und b frei wählen c und d folgen dann.
(bei mir kannst du a und e frei wählen)
Gruss leduart
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