Bedingter Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:01 Fr 31.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Hartzer und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Es seien [mm]\mathcal{G} \subset \mathcal{F}[/mm] eine
> [mm]Sub-\sigma-Algebra[/mm] und X eine Zufallsvariable, so dass X
> [mm]\in L^{+}(\mathcal{F})[/mm] oder X [mm]\in L^{1}(\mathcal{F}).[/mm]
[mm] $L^{+}(\mathcal{F})$ [/mm] bezeichnet bei euch die Menge der [mm] $\mathcal{F}$-messbaren [/mm] Funktionen mit Werten in [mm] $\IR_{\ge0}$?
[/mm]
> Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
>
> a) Es gilt [mm]E[X|\{\Omega,\emptyset\}]=E[X][/mm]
> b) Es gilt [mm]E[X|\mathcal{G}]=X \gdw[/mm] X ist eine
> [mm]\mathcal{G}-messbare[/mm] Zufallsvariable
> zu a)
> Da stocke ich grad bei der genauen Definition des bed.
> Erwartungswertes.
Dann empfiehlt es sich, die Definition in deinen Unterlagen nachzuschlagen... 
> Bei E[X|Y=y], X,Y Zufallsvariablen, müsste doch die
> Definition lauten (im diskreten Fall):
>
> [mm]\summe_{i}[/mm] i*P(X=i | [mm]Y=y)=\summe_{i}[/mm] i* [mm]\bruch{P(X=i, Y=y)}{P(Y=y)}[/mm]
>
> Nur wie sieht das aus, wenn ich auf einer [mm]\sigma-Algebra[/mm]
> bedinge?
> Sei [mm]\mathcal{A}=\{\Omega,\emptyset\}[/mm] eine [mm]\sigma-Algebra \Rightarrow E[X|\mathcal{A}]=?[/mm]
>
> Wäre für einen Tipp sehr dankbar 
Vermutlich lautet eure Definition im obigen Setting in etwa wie folgt:
Eine Zufallsgröße (nicht etwa eine Zahl!) $Z$ heißt eine Version von [mm] $E[X|\mathcal{G}]$ [/mm] (Kurzschreibweise: [mm] $E[X|\mathcal{G}]=Z$), [/mm] falls sie folgende Eigenschaften hat:
1) $Z$ ist [mm] $\mathcal{G}$-messbar [/mm] (und nicht nur [mm] $\mathcal{F}$-messbar).
[/mm]
2) [mm] $\integral_A Z\;dP=\integral_A X\;dP$ [/mm] für alle [mm] $A\in\mathcal{G}$.
[/mm]
(Man kann (zumindest im Fall [mm] $X\in L^1(\mathcal{F})$) [/mm] zeigen, dass eine [mm] $P|_\mathcal{G}$-fast-sicher [/mm] eindeutig bestimmte Zufallsgröße $Z$ mit diesen Eigenschaften existiert.)
Bei a) ist also zu zeigen, dass die konstante Zufallsgröße $Z:=E[X]$ eine Version von [mm] $E[X|\{\emptyset,\Omega\}]$ [/mm] ist (also die Eigenschaften 1) und 2) erfüllt).
Bei b) ist die Richtung [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] klar (Warum?).
Für die Richtung [mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Sei $X$ also [mm] $\mathcal{G}$-messbar.
[/mm]
Zu zeigen ist, dass $Z:=X$ eine Version von [mm] $E[X|\mathcal{G}]$ [/mm] ist (also die Eigenschaften 1) und 2) hat).
Viele Grüße
Tobias
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