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Bedeutung von Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Do 12.12.2019
Autor: inkeddude

Guten Nachmittag an alle :-D

Ich bin gerade dabei die, alten Vorlesungen der Analysis 2 zu wiederholen und eins ist mir immer noch nicht klar.

Und zwar handelt es sich um die Bedeutung der Normen im [mm] $\mathbb{R}^{d}$. [/mm]


Normen wurden in der Vorlesung als "Abstandsbegriff" eingeführt. Das heißt, mit Normen kann ich "Abstände" messen.

Die Definition lautet dazu:


Normen
______________________________________________________________________________________________________________________

Es sei $V$ ein [mm] $\mathbb{K}$ [/mm] - Vektorraum.

Die Abbildung


[mm] $\vert \vert \cdot \vert \vert: [/mm] V [mm] \rightarrow [/mm] [0, [mm] \infty)$ [/mm]


heißt Norm auf $V$, falls für alle $x, y [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\lambda \in \mathbb{K}$ [/mm] gilt, dass

[mm] $(N1)\; [/mm] $ [mm] $\vert \vert [/mm]  x [mm] \vert \vert [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm]  x = [mm] 0\quad$ [/mm] (Definitheit)


[mm] $(N2)\; [/mm] $ [mm] $\vert \vert \lambda [/mm] x [mm] \vert \vert [/mm] = [mm] \vert \lambda \vert \cdot \vert \vert [/mm]  x [mm] \vert \vert\quad$ [/mm] (absolute Homogenität)


[mm] $(N3)\; [/mm] $ [mm] $\vert \vert [/mm]  x + y [mm] \vert \vert \le \vert \vert [/mm]  x [mm] \vert \vert [/mm] + [mm] \vert \vert [/mm]  y [mm] \vert \vert\quad$ [/mm] (Dreiecksungleichung)


Das Paar $(V, [mm] \vert \vert \cdot \vert \vert)$ [/mm] nennt man normierten Raum.
______________________________________________________________________________________________________________________



Dann haben wir die $P$ - Normen definiert:



$P$- Normen
______________________________________________________________________________________________________________________


Sei $p [mm] \in [/mm] [1,  [mm] \infty)$ [/mm] und $x [mm] \in \mathbb{R}^{d}$. [/mm]


Dann heißt  [mm] $\vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert_{p} [/mm] := [mm] \left ( \sum\limits_{j = 1}^{d} \vert x_{j} \vert^{p} \right )^{\frac{1}{p}}$ [/mm] die $p$ - Norm  auf [mm] $\mathbb{R}^{d}$ [/mm] und

[mm] $\vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert_{\infty} [/mm]  := max [mm] \{\; \vert x_{1} \vert, \ldots, \vert x_{d} \vert \; \}$ [/mm] die Maximumsnorm  auf [mm] $\mathbb{R}^{d}$ [/mm]


______________________________________________________________________________________________________________________



Meine Frage ist, warum man so viele (sogar unendlich viele ) Normen oder Abstandsbegriffe definiert.

In der Schule haben wir ja die euklidische Norm definiert, um  den Abstand zwischen Vektor und Ursprung zu bestimmen.

Das macht für mich Sinn, weil der Satz des Pythagoras gilt. Im realen Leben würde ich den Abstand zwischen zwei Objekten genauso messen.
Ich lege Objekt 1 als Ursprung fest und berechne dann mit der euklidischen Norm den Abstand von Objekt 2 zum Ursprung (also Objekt 1).


Aber was bringt mir zum Beispiel die $1 - $ Norm als Abstandsmessung oder die Maximumsnorm?  Was sind das denn für seltsame Abstandsmessungen?

Wozu brauche ich die 6 - Norm usw... Wieso einigt man sich nicht nur auf eine Abstandsmessung wie die euklidische Norm?



Ich meine, wenn ich die Länge des Hypotenuse eines Dreiecks berechne, dann geschieht das auch durch die euklidische Norm und nicht beispielsweise über die $1$ - Norm.


Wenn mir dann jemand sagt, dass die Länge der Hypotenuse einmal 10 cm ist und einmal 17 cm, wem soll ich dann glauben? Ich gehe zum Beispiel davon aus, dass beide den Satz des Pythagoras angewendet haben.

Tatsächlich hat einer aber den Satz des Pythagoras (euklidische Norm) angewendet und der andere eben die $1$ Norm.


Macht man sich das Leben damit nicht unnötig schwer? Wie will man sich auf ein Ergebnis einigen, wenn jeder den Abstand so berechnet, wie er will ?





Ich hoffe, ihr versteht, was ich meine. Vielleicht denke ich auch zu begrenzt, aber ich sehe momentan den Nutzen dahinter nicht, solche Abstände zu definieren.




Freue mich auf eine Antwort :)



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Bedeutung von Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Do 12.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Normen wurden in der Vorlesung als "Abstandsbegriff"
> eingeführt. Das heißt, mit Normen kann ich "Abstände" messen.

Wenn ihr wirklich Normen als "Abstand" eingeführt habt, dann ist das falsch.
Der Normbegriff definiert erst einmal eine "Länge".
Einen Abstand zwischen zwei Punkten beschreibst du dann eher durch eine "Metrik".
Allerdings kannst du, wenn du eine Norm hast, einen natürlichen "Abstand" definieren über $d(x,y) = ||x - y||$
D.h. der Abstand zwischen x und y ist gerade die Länge des Verbindungsvektors.


> Meine Frage ist, warum man so viele (sogar unendlich viele) Normen oder Abstandsbegriffe definiert.

Weil es manchmal nützlich ist.

> In der Schule haben wir ja die euklidische Norm definiert,
> um  den Abstand zwischen Vektor und Ursprung zu bestimmen.

Eher um den Abstand zwischen Punkt und Ursprung zu bestimmen… oder um die Länge des Vektors zu bestimmen. "Abstand zwischen Vektor und Ursprung" macht keinen Sinn.

> Aber was bringt mir zum Beispiel die [mm]1 -[/mm] Norm als
> Abstandsmessung oder die Maximumsnorm?  Was sind das denn
> für seltsame Abstandsmessungen?

So seltsam sind die gar nicht.
Hast du dir schon mal den []Wikipedia-Artikel zu den p-Normen durchgelesen?
Da ist vieles eigentlich schön visualisiert. Beispielsweise sieht der "Einheitskreis" in den Normen unterschiedlich aus, was für einige Problemlösungen sehr hilfreich ist.
Und bspw induziert die 1-Norm die sogenannte []Manhatten-Metrik, die für einige Problemstellungen sinnvoller ist als der euklidische Abstand.

Hinzu kommt, dass alle Normen ja äquivalent sind, d.h. es für viele Probleme egal ist, für welche Norm man eine Aussage zeigt, da sie dann für alle Normen gilt, bspw. Konvergenzen. Dann wählt man sich halt diejenige, die die Umformungen am einfachsten machen.

Später, wenn man die Normen auf unendlich-dimensionale Räume wie [mm] $\mathcal{L}^p$ [/mm] erweitert (der Raum der Funktionen, deren p-te Potenz integrierbar ist), erhält man weitere Anwendungen, z.B. in der []Stochastik.
Dort spielen die p-Normen u.A. eine große Rolle bei der Auswertung von Statistiken, dort werden sie []Momente genannt.

> Wenn mir dann jemand sagt, dass die Länge der Hypotenuse
> einmal 10 cm ist und einmal 17 cm, wem soll ich dann
> glauben? Ich gehe zum Beispiel davon aus, dass beide den
> Satz des Pythagoras angewendet haben.

"cm" ist eine klar definierte Länge, da wirst du keine Abweichungen haben… es ist doch auch kein Problem für dich, wenn dir einer sagt "Das kostet 5$" und der nächste sagt "Nee, das kostet 4,50€"
Dann bist du kurz verwirrt, nur um dann festzustellen "Ah, 5$ = 4,50€"

> Macht man sich das Leben damit nicht unnötig schwer? Wie
> will man sich auf ein Ergebnis einigen, wenn jeder den
> Abstand so berechnet, wie er will ?

Wie will man sich auf einen Wert einigen, wenn (fast) jedes Land eine eigene Währung verwendet?

Gruß,
Gono

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