Bedeutung dieser Aussage? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche Wahlen von $i, j [mm] \in \{1, 2, 3, 4\}$ [/mm] kann man die Komposition [mm] $f_{i} \circ f_{j}$ [/mm] bilden? Geben Sie in diesen Fällen [mm] $f_{i} \circ f_{j}$ [/mm] explizit an.
$f1: [mm] \IR \to \IR$
[/mm]
$x [mm] \mapsto [/mm] -x$ |
Hi,
$f1: [mm] \IR \to \IR$
[/mm]
$x [mm] \mapsto [/mm] -x$
die erste Zeile bedeutet doch, dass von reellen Zahlen [mm] $\IR$ [/mm] in der "ersten Dimension" nach reellen Zahlen [mm] $\IR$ [/mm] ebenfalls in der "ersten Dimension" abgebildet wird. Das kann ich mir doch vorstellen wie ein normales kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen x, y.
die zweite Zeile bedeutet doch, dass jedes Element x das negative Element x zugeordnet wird. Angenommen wir haben x=5 dann wird diesem x=5 -5 zugedordnet.
Stimmt diese Aussage von mir? (Ich möchte wissen ob ich das richtig verstanden habe)
Danke für eure Hilfe!
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Nicht ganz.
Die zweite Zeile gibt dir wirklich an, was gemacht wird. Die erste Zeile gibt dir nur an, was hineingesteckt wird, und was heraus kommt.
Hier werden also rationale Zahlen auf rationale Zahlen abgebildet.
Das Skalarprodukt bildet z.b. zweidimensionale Vektoren (mit rat. Elementen) auf die rat. Zahlen ab, da schreibt man [mm] $\IR^2 \to \IR$
[/mm]
Folgen können beispielsweise natürliche Zahlen auf reelle abbilden, also [mm] $\IN \to \IQ [/mm] $
Ein Produkt bildet ZWEI Zahlen ab, und je nachdem, was du für Zahlen reinsteckst, bekommst du:
[mm] $\IN \times \IN \to \IN [/mm] $
[mm] $\IN \times \IR \to \IR [/mm] $
[mm] $\IN \times \IQ \to \IQ [/mm] $
Das Kreuz hat hier nix mit dem Produkt zu tun, das sagt einfach, daß du zwei unabhängige Zahlen reinsteckst, und nicht ein Objekt aus zwei Zahlen, wie bei den Vektoren.
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Danke für die ausführliche Erklärung! Jetzt ist mir das einiges klarer geworden.
$f1: [mm] \IR \to \IR$
[/mm]
$x [mm] \mapsto [/mm] -x$
Das hieße ja dass man Zahlen die Bestandteil der [mm] $\IR$ [/mm] (reellen Zahlen) sind reingesteckt werden und raus kommen. Man steckt z. B. die Zahl x=3 rein und raus kommt die zahl x=-3
In diesem Fall würde ich direkt auf der X-Ache einen Punkt für 3 und -3 setzen können oder??? (x=3, y=0) und (x=-3, y=0) oder?
Jetzt habe ich noch ein Beispiel und da wollte ich ebenfalls noch Fragen ob die Überlegung stimmt:
$f1: X [mm] \to [/mm] Y$
$x [mm] \mapsto x^2$
[/mm]
Es ist doch richtig, dass das X und Y groß geschrieben werden in der ersten Zeile da es sich um Mengen handelt oder? (oder kann man das auch klein schreiben?)
Die zweite Zeile sagt doch aus, dass man ein Element/Zahl x hineinsteckt und das wird dann Quadriert also x=3 (wird reingesteckt) und x=9 (kommt heraus). Wird dann dieses x=9 auf der Y-Achse eingezeichnet aufgrund der ersten Zeile? oder liege ich da falsch?
Danke für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Di 07.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke für die ausführliche Erklärung! Jetzt ist mir das
> einiges klarer geworden.
>
> [mm]f1: \IR \to \IR[/mm]
> [mm]x \mapsto -x[/mm]
>
> Das hieße ja dass man Zahlen die Bestandteil der [mm]\IR[/mm]
> (reellen Zahlen) sind reingesteckt werden und raus kommen.
> Man steckt z. B. die Zahl x=3 rein und raus kommt die zahl
> x=-3
>
Korrekt
> In diesem Fall würde ich direkt auf der X-Ache einen Punkt
> für 3 und -3 setzen können oder??? (x=3, y=0) und (x=-3,
> y=0) oder?
>
Nicht ganz: f: [mm] \IR\to\IR [/mm] heisst nicht, dass du den Graphe in dieselbe Achse eintragen sollst.
Die y-Achse ist ja auch eine Darstellung von [mm] \IR.
[/mm]
Das heisst, das Bild trägst du (also die -3) trägst du auf der y-Achse ein. Dann verbindest du die beiden Werte mit einem Pfeil.
Übersichtlicher ist es natürlich, wenn du direkt den Punkt (3/-3) einträgst, dann ersparst du dir den Pfeil, und hast, wenn du dass für alle Punkte machst, sofort den Graphen y=-x.
>
> Jetzt habe ich noch ein Beispiel und da wollte ich
> ebenfalls noch Fragen ob die Überlegung stimmt:
>
> [mm]f1: X \to Y[/mm]
> [mm]x \mapsto x^2[/mm]
>
> Es ist doch richtig, dass das X und Y groß geschrieben
> werden in der ersten Zeile da es sich um Mengen handelt
> oder? (oder kann man das auch klein schreiben?)
Yep, Mengen werden meistens mit Grossbuchstaben geschrieben.
>
> Die zweite Zeile sagt doch aus, dass man ein Element/Zahl x
> hineinsteckt und das wird dann Quadriert also x=3 (wird
> reingesteckt) und x=9 (kommt heraus). Wird dann dieses x=9
> auf der Y-Achse eingezeichnet aufgrund der ersten Zeile?
> oder liege ich da falsch?
>
>
Korrekt. Aber wie schon gesagt, die Funktionen werden meistens als Punktmenge (Graph) direkt eingezeichnet. Also hier: y=x² ist die Normalparabel.
>
> Danke für die Hilfe!
Bitte
Marius
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Dankeschön :) Dann habe ich das soweit jetzt verstanden. Aber jetzt ist mir heute noch eine Frage gekommen und zwar was ist der Unterschied zwischen:
1.
$ f1: X [mm] \to [/mm] Y $
$ x [mm] \mapsto x^2 [/mm] $
2.
$ f1: X [mm] \to [/mm] X $
$ x [mm] \mapsto x^2 [/mm] $
Werden diese verschieden eingezeichnet???
Also beim ersten steckt man 3 rein und bekommt -3 raus also (3, -3) und die -3 würde dann wie gesagt auf der Y-Achse gezeichnet werden.
Was ist aber der Unterschied zum zweiten???
Danke für eure Hilfe!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Fr 10.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Dankeschön :) Dann habe ich das soweit jetzt verstanden.
> Aber jetzt ist mir heute noch eine Frage gekommen und zwar
> was ist der Unterschied zwischen:
>
> 1.
> [mm]f1: X \to Y[/mm]
> [mm]x \mapsto x^2[/mm]
>
>
> 2.
> [mm]f1: X \to X[/mm]
> [mm]x \mapsto x^2[/mm]
>
>
> Werden diese verschieden eingezeichnet???
> Also beim ersten steckt man 3 rein und bekommt -3 raus
> also (3, -3) und die -3 würde dann wie gesagt auf der
> Y-Achse gezeichnet werden.
>
> Was ist aber der Unterschied zum zweiten???
>
>
>
> Danke für eure Hilfe!!!
Der Graph ist in beiden Fällen identisch.
Das einzige, was sich ändert, ist die Beschriftung der y-Achse.
Und zwar steht in Fall 1
[mm] y\in\red{Y} [/mm] und in Fall 2 [mm] y\in\red{X}
[/mm]
Das heisst auch, dass man in Fall 2 die Verkettung [mm] f\circ(f), [/mm] also f(f(x)) bilden kann, das ja f Elemente aus X wieder in X abbildet.
In Fall 1 funktioniert das nicht, da f Elemente aus X nach Y abbildet.
Marius
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