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| Aufgabe | Es sei [mm] V=\IQ^{2x1}, [/mm] es sei [mm] B=(v_1,v_2) [/mm] eine Basis von V, uns sei [mm] \varphi [/mm] der durch Abb.matrix [mm] M_B(\varphi) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] gegebene Endomorphismus von V.
a) Zeigen Sie: [mm] \varphi [/mm] ist ein Automorphismus von V.
b) Wegen a) ist [mm] C=(\varphi(v_2), \varphi(v_1)) [/mm] eine Basis von V. Berechnen Sie die Basiswechselmatrizen [mm] M^C_B(id_V) [/mm] und [mm] M^B_C(id_V)
[/mm]
c) Berechnen Sie mit Hilfe von (b) die Abb.Matrix [mm] M_C(\varphi)
[/mm]
d) Es sei v = [mm] \vektor{-2\\17} \in [/mm] V. Welchen Koordinatenvektor hat der Vektor [mm] \varphi(v) [/mm] bezgl. der Basis C? |
Ich dachte die Aufgabe schaff ich jetzt mal ohne das Forum.
a) [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & |0 \\ 0 & 1 & |0} [/mm]
[mm] \Rightarrow Kern(\varphi) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] injektiv mit Endomorphismus heisst das bijektiv
b) So nun zur eigentlichen Fragen. Ich hab gar keine Zahlen zum Anpacken und da steht nichts von Standardbasis, was soll ich da machen?
Und falls Angela antworten möchte, dann sag mir bitte deine Lieblingsblumen und schick mir ggb. deine Adresse per PN :D
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Hallo,
> Es sei [mm]V=\IQ^{2x1},[/mm] es sei [mm]B=(v_1,v_2)[/mm] eine Basis von V,
> uns sei [mm]\varphi[/mm] der durch Abb.matrix [mm]M_B(\varphi)[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm]
> gegebene Endomorphismus von V.
>
> a) Zeigen Sie: [mm]\varphi[/mm] ist ein Automorphismus von V.
> b) Wegen a) ist [mm]C=(\varphi(v_2), \varphi(v_1))[/mm] eine Basis
> von V. Berechnen Sie die Basiswechselmatrizen [mm]M^C_B(id_V)[/mm]
> und [mm]M^B_C(id_V)[/mm]
> c) Berechnen Sie mit Hilfe von (b) die Abb.Matrix
> [mm]M_C(\varphi)[/mm]
> d) Es sei v = [mm]\vektor{-2\\17} \in[/mm] V. Welchen
> Koordinatenvektor hat der Vektor [mm]\varphi(v)[/mm] bezgl. der
> Basis C?
> Ich dachte die Aufgabe schaff ich jetzt mal ohne das
> Forum.
>
> a) [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & |0 \\ 0 & 1 & |0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow Kern(\varphi)[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] injektiv mit
> Endomorphismus heisst das bijektiv
Jo.
>
> b) So nun zur eigentlichen Fragen. Ich hab gar keine Zahlen
> zum Anpacken und da steht nichts von Standardbasis, was
> soll ich da machen?
Wie ist denn $ [mm] \IQ^{2 \times 1} [/mm] $ bei euch definiert??
Dieser hat sicher eine kanonische Basis, die du wählen kannst. Die Aufgabe besteht ja nur darin, eine Basis $ B [mm] \subset \IQ^{2 \times 1} [/mm] $ zu wählen. Andernfalls kannst du zwei linear unabhängige Vektoren aus $ V $ wählen. Diese bilden ja auch eine Basis.
Also: Seien $ B = [mm] (v_1, v_2), [/mm] B' = [mm] (\varphi(v_1),\varphi(v_2)) [/mm] $ zwei Basen aus $ V $.
Stelle nun die Matrizen nach dem Rezept auf, das dir in den anderen Threads genannt wurde.
>
> Und falls Angela antworten möchte, dann sag mir bitte
> deine Lieblingsblumen und schick mir ggb. deine Adresse per
> PN :D
Aufgabe c,d kannst du.
Grüße
ChopSuey
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> Es sei [mm]V=\IQ^{2x1},[/mm] es sei [mm]B=(v_1,v_2)[/mm] eine Basis von V,
> uns sei [mm]\varphi[/mm] der durch Abb.matrix [mm]M_B(\varphi)[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm]
> gegebene Endomorphismus von V.
>
> a) Zeigen Sie: [mm]\varphi[/mm] ist ein Automorphismus von V.
> b) Wegen a) ist [mm]C=(\varphi(v_2), \varphi(v_1))[/mm] eine Basis
> von V. Berechnen Sie die Basiswechselmatrizen [mm]M^C_B(id_V)[/mm]
> und [mm]M^B_C(id_V)[/mm]
> c) Berechnen Sie mit Hilfe von (b) die Abb.Matrix
> [mm]M_C(\varphi)[/mm]
> d) Es sei v = [mm]\vektor{-2\\17} \in[/mm] V. Welchen
> Koordinatenvektor hat der Vektor [mm]\varphi(v)[/mm] bezgl. der
> Basis C?
> b) So nun zur eigentlichen Fragen. Ich hab gar keine Zahlen
> zum Anpacken und da steht nichts von Standardbasis, was
> soll ich da machen?
Hallo,
gleich wirst Du Zahlen haben...
Du solltest Dir mal überlegen, wie Du eigentlich an die [mm] \varphi(v_i) [/mm] kommst.
Dazu ist es gut, nochmal aufzusagen, was die Matrix [mm] M_B(\varphi) (=M_B^B(\varphi)) [/mm] tut:
sie liefert für Vektoren, die in Koordinaten bzgl. B gegeben sind, deren Bild unter der Abbildung [mm] \phi [/mm] in Koordinaten bzgl. B.
Aha.
Dann versuchen wir jetzt, [mm] \varphi(v_2) [/mm] zu bestimmen.
Zunächst braucht man [mm] v_2 [/mm] in Koordinaten bzgl. B. Das ist leicht: [mm] v_2=\vektor{0\\1}_{(B)}.
[/mm]
Nun das Bild davon lt. Anleitung: [mm] \varphi(v_2)=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }*\vektor{0\\1}_{(B)}=\vektor{2\\4}_{(B)}= 2v_1+4v_2.
[/mm]
In der Basiswechselmatrix [mm] M_B^C(id_V) [/mm] stehen in den den Spalten Basisvektoren von C in Koordinaten bzgl. B.
Den ersten Basisvektor von C haben wir gerade bearbeitet, Du mußt ihn jetzt nur noch in die Spalten eintragen.
Der zweite geht dann natürlich genauso.
Um die andere Basiswechselmatrix zu bekommen, brauchst Du nur zu invertieren, denn sie leistet ja genau das Umgekehrte von der, die wir gerade am Wickel haben.
Gleich nochmal zur Aufgabe c). Ich verwende für sowas "meine" Schreibweise, bei der rechts die Matrix des Startraumes und links die des Zielraumes steht:
[mm] _{\blue{C}}M(\varphi)_{\red{C}}= _{\blue{C}}M(id)_B*_BM(\varphi)_B*_BM(id)_{\red{C}}
[/mm]
Beachte, daß immer die selben Basen "aneinanderstoßen". Ich finde, daß man mit dieser Schreibweise fast nichts mhr verkehrt machen kann - außer falsch zu rechnen.
> Und falls Angela antworten möchte, dann sag mir bitte
> deine Lieblingsblumen und schick mir ggb. deine Adresse per
> PN :D
Freut mich, wenn ich Dir helfen konnte und Du jetzt Dinge kannst, die Du vorher nicht konntest.
Der MR funktioniert ja nun komplett ohne Blumen, aber-
- falls Du Dein "danke" in irgendeiner Weise materiell audrücken möchtst, kannst Du den MR natürlich gern mit einer Spende bedenken, die der Weiterfinanzierung des Servers dient.
Gruß v. Angela
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> Zunächst braucht man [mm]v_2[/mm] in Koordinaten bzgl. B. Das ist
> leicht: [mm]v_2=\vektor{0\\1}_{(B)}.[/mm]
Da hast du ja einfach die aus der Standardbasis genommen. Hm das steht da ja nirgendo explizit. Aber ich schätze das ist so in Ordnung wenn du es sagst.
> Gleich nochmal zur Aufgabe c). Ich verwende für sowas
> "meine" Schreibweise, bei der rechts die Matrix des
> Startraumes und links die des Zielraumes steht:
>
> [mm]_{\blue{C}}M(\varphi)_{\red{C}}= _{\blue{C}}M(id)_B*_BM(\varphi)_B*_BM(id)_{\red{C}}[/mm]
Muss ich immer alle drei nehmen weil ich fänds jetzt auch logisch das zu machen:
[mm] _{\blue{C}}M(\varphi)_{\red{C}}= _BM(\varphi)_B*_BM(id)_{\red{C}}
[/mm]
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Hallo,
> > Zunächst braucht man [mm]v_2[/mm] in Koordinaten bzgl. B. Das ist
> > leicht: [mm]v_2=\vektor{0\\1}_{(B)}.[/mm]
>
> Da hast du ja einfach die aus der Standardbasis genommen.
> Hm das steht da ja nirgendo explizit. Aber ich schätze das
> ist so in Ordnung wenn du es sagst.
Nein. Stelle doch mal die Koordinaten eines Vektors aus einer beliebigen Basis bzgl der selben Basis dar.
Beispiel: Basis $ [mm] \B \subset \IR^2 [/mm] $ mit $ B = [mm] span(v_1,v_2) =span(\vektor{1 \\ 1},\vektor{-1 \\ 1}) [/mm] $
Koordinaten bzgl der selben Basis:
$ [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] = 1 * [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] + 0 * [mm] \vektor{-1 \\ 1} \Rightarrow [v_1]_B [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0}$
[/mm]
$ [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] = 0* [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] + 1 * [mm] \vektor{-1 \\ 1} \Rightarrow [v_2]_B [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1}$
[/mm]
Fällt dir was auf?
>
> > Gleich nochmal zur Aufgabe c). Ich verwende für sowas
> > "meine" Schreibweise, bei der rechts die Matrix des
> > Startraumes und links die des Zielraumes steht:
> >
> > [mm]_{\blue{C}}M(\varphi)_{\red{C}}= _{\blue{C}}M(id)_B*_BM(\varphi)_B*_BM(id)_{\red{C}}[/mm]
>
> Muss ich immer alle drei nehmen weil ich fänds jetzt auch
> logisch das zu machen:
> [mm]_{\blue{C}}M(\varphi)_{\red{C}}= _BM(\varphi)_B*_BM(id)_{\red{C}}[/mm]
>
>
Dann hast so etwas wie $ [mm] _{\blue{B}}M(\varphi)_{\red{C}}$
[/mm]
Danach ist aber nicht gesucht.
Viele Grüße
ChopSuey
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> Hallo,
>
> > > Zunächst braucht man [mm]v_2[/mm] in Koordinaten bzgl. B. Das ist
> > > leicht: [mm]v_2=\vektor{0\\1}_{(B)}.[/mm]
> >
> > Da hast du ja einfach die aus der Standardbasis genommen.
> > Hm das steht da ja nirgendo explizit. Aber ich schätze das
> > ist so in Ordnung wenn du es sagst.
>
> Nein. Stelle doch mal die Koordinaten eines Vektors aus
> einer beliebigen Basis bzgl der selben Basis dar.
>
> Beispiel: Basis [mm]\B \subset \IR^2[/mm] mit [mm]B = span(v_1,v_2) =span(\vektor{1 \\ 1},\vektor{-1 \\ 1})[/mm]
>
> Koordinaten bzgl der selben Basis:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1} = 1 * \vektor{1 \\ 1} + 0 * \vektor{-1 \\ 1} \Rightarrow [v_1]_B = \vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-1 \\ 1} = 0* \vektor{1 \\ 1} + 1 * \vektor{-1 \\ 1} \Rightarrow [v_2]_B = \vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
> Fällt dir was auf?
Ne nicht direkt. Du willst darauf anspielen das alle basen wieder auf die kanonische basis gedeichselt werden können. Oder sowas. Aber wozu das ganze Spiel da unten mit den verschiedenen Basen.
> >
> > > Gleich nochmal zur Aufgabe c). Ich verwende für sowas
> > > "meine" Schreibweise, bei der rechts die Matrix des
> > > Startraumes und links die des Zielraumes steht:
> > >
> > > [mm]_{\blue{C}}M(\varphi)_{\red{C}}= _{\blue{C}}M(id)_B*_BM(\varphi)_B*_BM(id)_{\red{C}}[/mm]
>
> >
> > Muss ich immer alle drei nehmen weil ich fänds jetzt auch
> > logisch das zu machen:
> > [mm]_{\blue{C}}M(\varphi)_{\red{C}}= _BM(\varphi)_B*_BM(id)_{\red{C}}[/mm]
>
> >
> >
>
> Dann hast so etwas wie [mm]_{\blue{B}}M(\varphi)_{\red{C}}[/mm]
Aaah, klar! Danke!
Viele Grüße!
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Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > Zunächst braucht man [mm]v_2[/mm] in Koordinaten bzgl. B. Das ist
> > > > leicht: [mm]v_2=\vektor{0\\1}_{(B)}.[/mm]
> > >
> > > Da hast du ja einfach die aus der Standardbasis genommen.
> > > Hm das steht da ja nirgendo explizit. Aber ich schätze das
> > > ist so in Ordnung wenn du es sagst.
> >
> > Nein. Stelle doch mal die Koordinaten eines Vektors aus
> > einer beliebigen Basis bzgl der selben Basis dar.
> >
> > Beispiel: Basis [mm]\B \subset \IR^2[/mm] mit [mm]B = span(v_1,v_2) =span(\vektor{1 \\ 1},\vektor{-1 \\ 1})[/mm]
>
> >
> > Koordinaten bzgl der selben Basis:
> >
> > [mm]\vektor{1 \\ 1} = 1 * \vektor{1 \\ 1} + 0 * \vektor{-1 \\ 1} \Rightarrow [v_1]_B = \vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > [mm]\vektor{-1 \\ 1} = 0* \vektor{1 \\ 1} + 1 * \vektor{-1 \\ 1} \Rightarrow [v_2]_B = \vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
> >
> > Fällt dir was auf?
>
> Ne nicht direkt. Du willst darauf anspielen das alle basen
> wieder auf die kanonische basis gedeichselt werden können.
> Oder sowas. Aber wozu das ganze Spiel da unten mit den
> verschiedenen Basen.
Nein. Ich wollte dir damit zeigen, dass die Koordinatenvektoren eines Vektors bzgl der gleichen Basis immer die kanonischen Basisvektoren sind.
> > >
> > > > Gleich nochmal zur Aufgabe c). Ich verwende für sowas
> > > > "meine" Schreibweise, bei der rechts die Matrix des
> > > > Startraumes und links die des Zielraumes steht:
> > > >
> > > > [mm]_{\blue{C}}M(\varphi)_{\red{C}}= _{\blue{C}}M(id)_B*_BM(\varphi)_B*_BM(id)_{\red{C}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Muss ich immer alle drei nehmen weil ich fänds jetzt auch
> > > logisch das zu machen:
> > > [mm]_{\blue{C}}M(\varphi)_{\red{C}}= _BM(\varphi)_B*_BM(id)_{\red{C}}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> >
> > Dann hast so etwas wie [mm]_{\blue{B}}M(\varphi)_{\red{C}}[/mm]
> Aaah, klar! Danke!
>
> Viele Grüße!
Viele GRüße
ChopSuey
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> [mm]_{\blue{C}}M(\varphi)_{\red{C}}= _{\blue{C}}M(id)_B*_BM(\varphi)_B*_BM(id)_{\red{C}}[/mm]
Das ist super zu merken. Aber ich hab hier mehrmals ne andere Definition gefunden ist das egal wierum das da multiplziert wird z.B. hier:
http://www.mathepedia.de/Hintereinanderausfuehrung.aspx#L9
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> > [mm]_{\blue{C}}M(\varphi)_{\red{C}}= _{\blue{C}}M(id)_B*_BM(\varphi)_B*_BM(id)_{\red{C}}[/mm]
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> Das ist super zu merken. Aber ich hab hier mehrmals ne
> andere Definition gefunden
Hallo,
eine Definition ist das nicht.
Es ist ein Satz, welcher Dir sagt, wie Du von der Darstellung einer Abildung [mm] \varphi [/mm] bzgl. der einen Basis zu der bzgl. einer anderen kommst.
> ist das egal wierum das da
> multiplziert wird z.B. hier:
>
> http://www.mathepedia.de/Hintereinanderausfuehrung.aspx#L9
Ich weiß nicht, was Du meinst. Natürlich ist es nicht egal, was man multipliziert...
In dem von Dir verlinkten Satz ist erklärt, wie Du von den Darstellungsmatrizen von f und g zu der von [mm] g\circ [/mm] f kommst.
Nun, mit ein wenig Geschick und der Erkenntnis, daß [mm] \varphi=id\circ\varphi\circ [/mm] id, kannst Du für das obige Problem natürlich auch diesen Satz verwenden.
Versuch's halt mal.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:33 Mo 02.08.2010 | | Autor: | DrNetwork |
Gott sei dank, konntest du nicht schlafen! Danke :)
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