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| Aufgabe | Gegeben seinen zwei Basen des [mm] IR^3
[/mm]
[mm] A=(\vektor{1 \\ -1 \\ 2},\vektor{2 \\ 3 \\ 7}, \vektor{2 \\ 3 \\ 6}) [/mm] und [mm] B=(\vektor{1 \\ 2 \\ 2},\vektor{-1 \\ 3 \\ 3}, \vektor{-2 \\ 7 \\ 6}) [/mm]
a) Berechne die Basiswechselmatrix T, so dass A*T=B.
b) Wie lauten die Koordinaten des Vektors
[mm] v=2*\vektor{1 \\ -1 \\ 2}+9*\vektor{2 \\ 3 \\ 7}-8*\vektor{2 \\ 3 \\ 6}
[/mm]
bezüglich der Basis B?
c) Sei P der durch die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] in A gegebene Endomorphismus. Bestimme die Matrix von P in B. |
Hallo zusammen
Versuche gerade obige Aufgabe zu lösen.
Zu a)
Hier habe ich die Basis A und B in die Spalten einer Matrix geschrieben. Und dann: [mm] T=A^{-1}B [/mm] berechnet:
[mm] T=\pmat{ -1/5 & -9/5 & -4 \\ -6/5 & 21/5 & 8 \\ -9/5 & -19/5 & -7 }
[/mm]
Stimmt dies?
Bei b und c sollte ich einen Tipp haben.
Vielen Dank für eure Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:06 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Gegeben seinen zwei Basen des [mm]IR^3[/mm]
> [mm]A=(\vektor{1 \\ -1 \\ 2},\vektor{2 \\ 3 \\ 7}, \vektor{2 \\ 3 \\ 6})[/mm]
> und [mm]B=(\vektor{1 \\ 2 \\ 2},\vektor{-1 \\ 3 \\ 3}, \vektor{-2 \\ 7 \\ 6})[/mm]
> a) Berechne die Basiswechselmatrix T, so dass A*T=B.
Bei der Fragestellung geht's schon los.
Ich finde es in der Regel überhaupt nicht gut, wenn gleiche Buchstaben für verschiedene Dinge benutzt werden.
Zuerst bezeichnet A eine Basis des [mm] \IR^3, [/mm] also ein Tripel von 3 Vektoren des [mm] \IR^3, [/mm] danach eine Matrix. Ich werde für die Basen jetzt [mm] \mathcal{A} [/mm] bzw. [mm] \mathcal{B} [/mm] schreiben, für die Matrizen [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 3 & 3 \\ 2 & 7 & 6 } [/mm] und [mm] B=\pmat{ 1 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & 7 \\ 2 & 3 & 6 } [/mm] normale Großbuchstaben verwenden.
> b) Wie lauten die Koordinaten des Vektors
> [mm]v=2*\vektor{1 \\ -1 \\ 2}+9*\vektor{2 \\ 3 \\ 7}-8*\vektor{2 \\ 3 \\ 6}[/mm]
>
> bezüglich der Basis B?
> c) Sei P der durch die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> in A gegebene Endomorphismus. Bestimme die Matrix von P in
> B.
> Hallo zusammen
>
> Versuche gerade obige Aufgabe zu lösen.
> Zu a)
> Hier habe ich die Basis A und B in die Spalten einer
> Matrix geschrieben. Und dann: [mm]T=A^{-1}B[/mm] berechnet:
> [mm]T=\pmat{ -1/5 & -9/5 & -4 \\ -6/5 & 21/5 & 8 \\ -9/5 & -19/5 & -7 }[/mm]
>
Das ist hier in der Tat die übliche Vorgehensweise, aber wenn du b. und c. nicht lösen konntest, liegt das wahrscheinlich daran, dass du weißt, was du machen sollst, aber nicht warum diese Vorgehensweise zum Ziel führt. Damit setzt du die Prioritäten völlig falsch. Aus dem Verständnis der zugrunde liegenden Zusammenhänge kann ich mir die Technik des Aufgabenlösens immer wieder herleiten, sollte ich sie nach Jahren vergessen haben, umgekehrt ist das fast unmöglich.
> Stimmt dies?
Beim Eintrag [mm] t_{31} [/mm] ist dir ein Tippfehler unterlaufen, es sollte [mm] \bruch{9}{5} [/mm] heißen.
>
> Bei b und c sollte ich einen Tipp haben.
Dazu müssen wir uns zunächst über Vektoren, Basen, Koordinaten und Basiswechselmatrizen unterhalten.
Der Vektorraum [mm] \IR^3 [/mm] besteht aus Zahlentripeln, die du hier spaltenweise schreibst (ich persönlich bevorzuge die Zeilenschreibweise, hast du vielleicht schon bei anderer Gelegenheit bemerkt).
Ein Objekt [mm] v=\vektor{x \\ y \\ z}\in\IR^3 [/mm] kann nun bezüglich einer Basis [mm] \mathcal{A}=(a_1,a_2,a_3) [/mm] in eindeutiger Weise als Linearkombination geschrieben werden : [mm] v=x_A*a_1+y_A*a_2+z_A*a_3 [/mm] , dafür schreiben wir kurz [mm] v=\vektor{x_A \\ y_A \\ z_A}_A [/mm] oder [mm] v_A.
[/mm]
Die Koordinaten [mm] x_A, y_A [/mm] und [mm] z_A [/mm] hängen von der gewählten Basis [mm] \mathcal{A} [/mm] ab. Sie dürfen auf keinen Fall mit x,y,z von oben verwechselt werden. [mm] v=\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] ist ein Vektor an sich und völlig unabhängig von einer Basis, die Koordinaten [mm] x_A,... [/mm] beschreiben v bzgl einer Basis und ändern sich je nach Basis, ohne dass sich v selbst ändert.
Bsp.: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}_B=\vektor{1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
Lediglich für die sog. kanonische Basis [mm] \mathcal{E}=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}) [/mm] gilt [mm] x=x_E, [/mm] ... .
Die Basiswechselmatrix T, die du oben ausgerechnet hast, rechnet nun die Koordinaten eines Vektors v bzgl. der Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] in die Koordinaten von v bzgl. [mm] \mathcal{A} [/mm] um gemäß der Vektorgleichung [mm] v_A=T*v_B.
[/mm]
Bsp.: [mm] T*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}_B=\bruch{1}{5}*\vektor{-1 \\ -6 \\ 9}_A [/mm] und in der Tat ist [mm] \bruch{1}{5}*((-1)*\vektor{1 \\ -1 \\ 2}-6*\vektor{2 \\ 3 \\ 7}+9*\vektor{2 \\ 3 \\ 6})=\vektor{1 \\ 2 \\ 2}.
[/mm]
(In diesem Sinne rechnen die oben angegebenen Matrizen A und B die Koordinaten eines Vektors v bzgl. [mm] \mathcal{A} [/mm] bzw. [mm] \mathcal{B} [/mm] in solche bzgl. [mm] \mathcal{E} [/mm] um.)
Sind nun wie in Aufgabenteil b. die Koordinaten von v bzgl. [mm] \mathcal{A} [/mm] gegeben [mm] (v=\vektor{2 \\ 9 \\ -8}_A), [/mm] so muss entsprechend die Matrix [mm] T^{-1} [/mm] ran um uns daraus [mm] v_B [/mm] zu berechnen : [mm] v_B=T^{-1}*v_A
[/mm]
Das Ergebnis deiner Rechnung sollte [mm] v=\vektor{2 \\ 9 \\ -8}_A=\bruch{1}{5}*\vektor{31 \\ 191 \\ -90}_B=\vektor{4 \\ 1 \\ 19} [/mm] sein (letzteres als Kontrolle auf zwei Arten zu berechnen).
In Aufgabenteil c ist eine lineare Abbildung [mm] \pi [/mm] durch ihre Abbildungsmatrix P bzgl. der Koordinaten-Darstellung von Vektoren mithilfe der Basis [mm] \mathcal{A} [/mm] angegeben : Sei [mm] \pi(v)=w, [/mm] dann gilt [mm] w_A=P*v_A. [/mm] Wie oben ausgeführt gilt auch hier: die Abbildung [mm] \pi [/mm] existiert an sich und ist unabhängig von jeder Basis. Lediglich die zu ihrer Beschreibung benutzte Abbildungsmatrix P ist von der gewählten Basis abhängig. Man sollte deshalb besser [mm] P_A [/mm] für die oben angegebene Matrix schreiben. Um die Einträge in der Matrix [mm] P_B [/mm] zu finden, die [mm] \pi [/mm] darstellt, wenn alle Vektoren mit Koordinaten bzgl. [mm] \mathcal{B} [/mm] gegeben sind und erhalten werden sollen, transformiere man [mm] v_B [/mm] mithilfe von T zunächst in [mm] v_A, [/mm] dann kann man das Bild mit Hilfe von P erhalten, schließlich werden die Koordinaten mit [mm] T^{-1} [/mm] wieder zurück gerechnet : [mm] w_B=T^{-1}*P*T*v_B [/mm] ist eine Zusammenfassung der Gleichungen [mm] v_A=T*v_B [/mm] , [mm] w_A=P*v_A [/mm] , [mm] w_B=T^{-1}*w_A. [/mm] kurz : [mm] P_B=T^{-1}*P_A*T.
[/mm]
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß Sax.
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Hallo Sax
> Hi,
>
> > Gegeben seinen zwei Basen des [mm]IR^3[/mm]
> > [mm]A=(\vektor{1 \\ -1 \\ 2},\vektor{2 \\ 3 \\ 7}, \vektor{2 \\ 3 \\ 6})[/mm]
> > und [mm]B=(\vektor{1 \\ 2 \\ 2},\vektor{-1 \\ 3 \\ 3}, \vektor{-2 \\ 7 \\ 6})[/mm]
>
> > a) Berechne die Basiswechselmatrix T, so dass A*T=B.
>
> Bei der Fragestellung geht's schon los.
> Ich finde es in der Regel überhaupt nicht gut, wenn
> gleiche Buchstaben für verschiedene Dinge benutzt werden.
> Zuerst bezeichnet A eine Basis des [mm]\IR^3,[/mm] also ein Tripel
> von 3 Vektoren des [mm]\IR^3,[/mm] danach eine Matrix. Ich werde
> für die Basen jetzt [mm]\mathcal{A}[/mm] bzw. [mm]\mathcal{B}[/mm]
> schreiben, für die Matrizen [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 3 & 3 \\ 2 & 7 & 6 }[/mm]
> und [mm]B=\pmat{ 1 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & 7 \\ 2 & 3 & 6 }[/mm]
> normale Großbuchstaben verwenden.
>
Tut mir leid. Aber so steht es auf dem Aufgabenblatt.
> > b) Wie lauten die Koordinaten des Vektors
> > [mm]v=2*\vektor{1 \\ -1 \\ 2}+9*\vektor{2 \\ 3 \\ 7}-8*\vektor{2 \\ 3 \\ 6}[/mm]
>
> >
> > bezüglich der Basis B?
> > c) Sei P der durch die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> > in A gegebene Endomorphismus. Bestimme die Matrix von P in
> > B.
> > Hallo zusammen
> >
> > Versuche gerade obige Aufgabe zu lösen.
> > Zu a)
> > Hier habe ich die Basis A und B in die Spalten einer
> > Matrix geschrieben. Und dann: [mm]T=A^{-1}B[/mm] berechnet:
> > [mm]T=\pmat{ -1/5 & -9/5 & -4 \\ -6/5 & 21/5 & 8 \\ -9/5 & -19/5 & -7 }[/mm]
>
> >
>
> Das ist hier in der Tat die übliche Vorgehensweise, aber
> wenn du b. und c. nicht lösen konntest, liegt das
> wahrscheinlich daran, dass du weißt, was du machen sollst,
> aber nicht warum diese Vorgehensweise zum Ziel führt.
> Damit setzt du die Prioritäten völlig falsch. Aus dem
> Verständnis der zugrunde liegenden Zusammenhänge kann ich
> mir die Technik des Aufgabenlösens immer wieder herleiten,
> sollte ich sie nach Jahren vergessen haben, umgekehrt ist
> das fast unmöglich.
>
Ja du hast vollkommen recht, dieses Thema habe ich wirklich nicht recht verstanden.....
Habe desshalb auch noch eine (blöde) Frage...
>
> > Stimmt dies?
>
> Beim Eintrag [mm]t_{31}[/mm] ist dir ein Tippfehler unterlaufen, es
> sollte [mm]\bruch{9}{5}[/mm] heißen.
> >
> > Bei b und c sollte ich einen Tipp haben.
>
> Dazu müssen wir uns zunächst über Vektoren, Basen,
> Koordinaten und Basiswechselmatrizen unterhalten.
> Der Vektorraum [mm]\IR^3[/mm] besteht aus Zahlentripeln, die du
> hier spaltenweise schreibst (ich persönlich bevorzuge die
> Zeilenschreibweise, hast du vielleicht schon bei anderer
> Gelegenheit bemerkt).
> Ein Objekt [mm]v=\vektor{x \\ y \\ z}\in\IR^3[/mm] kann nun
> bezüglich einer Basis [mm]\mathcal{A}=(a_1,a_2,a_3)[/mm] in
> eindeutiger Weise als Linearkombination geschrieben werden
> : [mm]v=x_A*a_1+y_A*a_2+z_A*a_3[/mm] , dafür schreiben wir kurz
> [mm]v=\vektor{x_A \\ y_A \\ z_A}_A[/mm] oder [mm]v_A.[/mm]
> Die Koordinaten [mm]x_A, y_A[/mm] und [mm]z_A[/mm] hängen von der
> gewählten Basis [mm]\mathcal{A}[/mm] ab. Sie dürfen auf keinen
> Fall mit x,y,z von oben verwechselt werden. [mm]v=\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> ist ein Vektor an sich und völlig unabhängig von einer
> Basis, die Koordinaten [mm]x_A,...[/mm] beschreiben v bzgl einer
> Basis und ändern sich je nach Basis, ohne dass sich v
> selbst ändert.
> Bsp.: [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}_B=\vektor{1 \\ 2 \\ 2}[/mm]
>
> Lediglich für die sog. kanonische Basis
> [mm]\mathcal{E}=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1})[/mm]
> gilt [mm]x=x_E,[/mm] ... .
>
> Die Basiswechselmatrix T, die du oben ausgerechnet hast,
> rechnet nun die Koordinaten eines Vektors v bzgl. der Basis
> [mm]\mathcal{B}[/mm] in die Koordinaten von v bzgl. [mm]\mathcal{A}[/mm] um
> gemäß der Vektorgleichung [mm]v_A=T*v_B.[/mm]
Hier: Das verstehe ich nicht ganz: Es steht doch: AT=B. Wie kommst du jetzt auf die Vektorgleichung [mm] v_A=T*v_B [/mm]
(Sorry ist vielleicht wirklich eine doofe Frage, aber ich seh's gerade nicht... :/)
> Bsp.: [mm]T*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}_B=\bruch{1}{5}*\vektor{-1 \\ -6 \\ 9}_A[/mm]
> und in der Tat ist [mm]\bruch{1}{5}*((-1)*\vektor{1 \\ -1 \\ 2}-6*\vektor{2 \\ 3 \\ 7}+9*\vektor{2 \\ 3 \\ 6}=\vektor{1 \\ 2 \\ 2}.[/mm]
>
> (In diesem Sinne rechnen die oben angegebenen Matrizen A
> und B die Koordinaten eines Vektors v bzgl. [mm]\mathcal{A}[/mm]
> bzw. [mm]\mathcal{B}[/mm] in solche bzgl. [mm]\mathcal{E}[/mm] um.)
>
> Sind nun wie in Aufgabenteil b. die Koordinaten von v bzgl.
> [mm]\mathcal{A}[/mm] gegeben [mm](v=\vektor{2 \\ 9 \\ -8}_A),[/mm] so muss
> entsprechend die Matrix [mm]T^{-1}[/mm] ran um uns daraus [mm]v_B[/mm] zu
> berechnen : [mm]v_B=T^{-1}*v_A[/mm]
>
> Das Ergebnis deiner Rechnung sollte [mm]v=\vektor{2 \\ 9 \\ -8}_A=\bruch{1}{5}*\vektor{31 \\ 191 \\ -90}_B=\vektor{4 \\ 1 \\ 19}[/mm]
> sein (letzteres als Kontrolle auf zwei Arten zu
> berechnen).
>
> In Aufgabenteil c ist eine lineare Abbildung [mm]\pi[/mm] durch ihre
> Abbildungsmatrix P bzgl. der Koordinaten-Darstellung von
> Vektoren mithilfe der Basis [mm]\mathcal{A}[/mm] angegeben : Sei
> [mm]\pi(v)=w,[/mm] dann gilt [mm]w_A=P*v_A.[/mm] Wie oben ausgeführt gilt
> auch hier: die Abbildung [mm]\pi[/mm] existiert an sich und ist
> unabhängig von jeder Basis. Lediglich die zu ihrer
> Beschreibung benutzte Abbildungsmatrix P ist von der
> gewählten Basis abhängig. Man sollte deshalb besser [mm]P_A[/mm]
> für die oben angegebene Matrix schreiben. Um die Einträge
> in der Matrix [mm]P_B[/mm] zu finden, die [mm]\pi[/mm] darstellt, wenn alle
> Vektoren mit Koordinaten bzgl. [mm]\mathcal{B}[/mm] gegeben sind und
> erhalten werden sollen, transformiere man [mm]v_B[/mm] mithilfe von
> T zunächst in [mm]v_A,[/mm] dann kann man das Bild mit Hilfe von P
> erhalten, schließlich werden die Koordinaten mit [mm]T^{-1}[/mm]
> wieder zurück gerechnet : [mm]w_B=T^{-1}*P*T*v_B[/mm] ist eine
> Zusammenfassung der Gleichungen [mm]v_A=T*v_B[/mm] , [mm]w_A=P*v_A[/mm] ,
> [mm]w_B=T^{-1}*w_A.[/mm] kurz : [mm]P_B=T^{-1}*P_A*T.[/mm]
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> >
> > Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Gruß Sax.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
die Situation ist doch folgende :
Wir haben zwei Basen, [mm] \mathcal{A}=(a_1, a_2, a_3) [/mm] und [mm] \mathcal{B}=(b_1,b_2,b_3) [/mm] des Vektorraumes [mm] \IR^3 [/mm] vorliegen.
Weil [mm] \mathcal{A} [/mm] eine Basis ist, lässt sich jeder Vektor b eindeutig als Linearkombination der [mm] a_i [/mm] darstellen :
[mm] b_1=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3 [/mm] kurz: [mm] b_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}_B=\vektor{\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3}_A
[/mm]
[mm] b_2=\mu_1a_1+\mu_2a_2+\mu_3a_3 [/mm] kurz: [mm] b_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}_B=\vektor{\mu_1 \\ \mu_2 \\ \mu_3}_A
[/mm]
[mm] b_1=\nu_1a_1+\nu_2a_2+\nu_3a_3 [/mm] kurz: [mm] b_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}_B=\vektor{\nu_1 \\ \nu_2 \\ \nu_3}_A
[/mm]
Diese drei Gleichungen lassen sich zu einer zusammenfassen, dazu schreibe man die Koeffizienten [mm] \lambda_1 [/mm] ... [mm] \nu_3 [/mm] folgendermaßen in eine Matrix T: [mm] T=\pmat{ \lambda_1 & \mu_1 & \nu_1 \\ \lambda_2 & \mu_2 & \nu_2 \\ \lambda_3 & \mu_3 & \nu_3}
[/mm]
Formal kann man (und sollte es auch einmal getan haben) nachrechnen, dass [mm] T*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\vektor{\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3} [/mm] ist, inhaltlich bedeutet dies, dass wir die Koordinaten der Basisvektoren [mm] b_j [/mm] bzgl. der Basis [mm] \mathcal{A} [/mm] erhalten, indem wir die Matrix T mit dem Koordinatenvektor von [mm] b_j [/mm] bzgl. der Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] multiplizieren.
Diese Erkenntnis trifft nicht nur auf die Basisvektoren [mm] b_j, [/mm] sondern auf jeden Vektor v zu.
Bzgl. [mm] \mathcal{B} [/mm] habe v die Koordinaten [mm] v_x,v_y [/mm] und [mm] v_z [/mm] :
[mm] v=\vektor{v_x \\ v_y \\ v_z}_B=v_xb_1+v_yb_2+v_zb_3
[/mm]
[mm] =v_x*(\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3)+v_y*(\mu_1a_1+\mu_2a_2+\mu_3a_3)+v_z*(\nu_1a_1+\nu_2a_2+\nu_3a_3)
[/mm]
[mm] =(v_x\lambda_1+v_y\mu_1+v_z\nu_1)*a_1+(v_x\lambda_2+v_y\mu_2+v_z\nu_2)*a_2+(v_x\lambda_3+v_y\mu_3+v_z\nu_3)*a_3=\vektor{v_x\lambda_1+v_y\mu_1+v_z\nu_1 \\ v_x\lambda_2+v_y\mu_2+v_z\nu_2 \\ v_x\lambda_3+v_y\mu_3+v_z\nu_3}_A=\vektor{v_x \\ v_y \\ v_z}_A
[/mm]
Formal lässt sich der Vektor [mm] \vektor{v_x\lambda_1+v_y\mu_1+v_z\nu_1 \\ v_x\lambda_2+v_y\mu_2+v_z\nu_2 \\ v_x\lambda_3+v_y\mu_3+v_z\nu_3 } [/mm] als Produkt [mm] \pmat{ \lambda_1 & \mu_1 & \nu_1 \\ \lambda_2 & \mu_2 & \nu_2 \\ \lambda_3 & \mu_3 & \nu_3}*\vektor{v_x \\ v_y \\ v_z} [/mm] schreiben, inhaltlich bedeutet dies, dass wir die Koordinaten von v bzgl der Basis [mm] \mathcal{A} [/mm] erhalten, indem wir die Matrix T mit dem Koordinatenvektor von v bzgl. [mm] \mathcal{B} [/mm] multiplizieren.
Genau das habe ich mit der Gleichung [mm] v_A=T*v_B [/mm] zum Ausdruck gebracht.
Gruß Sax.
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