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Hallo,
ich tu mich mit dem Basiswechsel sehr schwer, weil ich immer mit verschiedenen Wegen konfrontiert werde und nicht weiß, welcher Weg der richtige ist.
Die Aufgabe hatte ich schon einmal gepostet, aber mir geht es jetzt um etwas anderes als um die konkrete Lösung.
Fangen wir an:
Aufgabe: f: [mm] \IR^{3} [/mm] -> [mm] \IR^{3} [/mm] eine lineare Abbildung deren Matrix A bezüglich der Standardbasis gegeben ist:
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 }
[/mm]
Wie sieht die Matrix aus, wenn man stattdessen die Basis bestehend aus den Vektoren { [mm] (\vektor{1 \\ 0 \\ 0}), (\vektor{1 \\ 1 \\ 0}), (\vektor{1 \\ 1 \\ 1}) [/mm] } verwendet?
So, also damit ich das richtig verstehe: Wir sollen jetzt quasi einen Basiswechsel von A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 } [/mm] nach { [mm] (\vektor{1 \\ 0 \\ 0}), (\vektor{1 \\ 1 \\ 0}), (\vektor{1 \\ 1 \\ 1}) [/mm] } durchführen.
Wir sollen also eine Matrix finden, die man durch die Basen { [mm] (\vektor{1 \\ 0 \\ 0}), (\vektor{1 \\ 1 \\ 0}), (\vektor{1 \\ 1 \\ 1}) [/mm] } darstellen kann.
Das Problem sind die Möglichkeiten, wie man das lösen soll.
Auf Wikipedia steht: "Stellt man die Basisvektoren der alten Basis als Linearkombinationen der Vektoren der neuen Basis dar, so bilden die Koeffizienten dieser Linearkombinationen die Einträge der Basiswechselmatrix."
Hier steht nichts von Inverse oder sonst was.
Im Internet habe ich eine Art Kochrezept gefunden:
1. Die neuen Basisvektoren als Matrix B aufschreiben.
2. Die Inverse von B bestimmen, also [mm] B^{-1}
[/mm]
3. die gesuchte Matrix [mm] C_{gesucht} [/mm] durch: [mm] C_{gesucht} [/mm] = [mm] B^{-1}*A*B
[/mm]
Ich habe beide Wege an diesem Beispiel versucht und bei beiden Wegen kommen jeweils verschiedene Matrizen raus. Das kann nicht sein.
Ich bin echt durcheinander und weiß einfach nicht, wie ich einen Basiswechsel durchführen soll.
Anmerkung: Dankenswerterweise hatte "FRED" mit vor 3 Wochen ebenfalls verraten, wie man eine Abbildungsmatrix bildet, aber leider verstehe ich diese Lösung auch nicht. Langsam beginnt die Verzweiflung.
Ich bitte um Aufklärung.
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> Hallo,
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> ich tu mich mit dem Basiswechsel sehr schwer, weil ich
> immer mit verschiedenen Wegen konfrontiert werde und nicht
> weiß, welcher Weg der richtige ist.
> Die Aufgabe hatte ich schon einmal gepostet, aber mir geht
> es jetzt um etwas anderes als um die konkrete Lösung.
>
Hallo,
> Fangen wir an:
> Aufgabe: f: [mm]\IR^{3}[/mm] -> [mm]\IR^{3}[/mm] eine lineare Abbildung
> deren Matrix A bezüglich der Standardbasis
[mm] E:=(e_1, e_2, e_3)
[/mm]
> gegeben ist:
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Wie sieht die Matrix aus, wenn man stattdessen die Basis
B
> bestehend aus den Vektoren { b_1=[mm](\vektor{1 \\ 0 \\ 0}), b_2=(\vektor{1 \\ 1 \\ 0}), b_3=(\vektor{1 \\ 1 \\ 1})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } verwendet?
>
> So, also damit ich das richtig verstehe: Wir sollen jetzt
> quasi einen Basiswechsel von A = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> nach { [mm](\vektor{1 \\ 0 \\ 0}), (\vektor{1 \\ 1 \\ 0}), (\vektor{1 \\ 1 \\ 1})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } durchführen.
Nein.
Wir sollen einen Basiswechsel von E nach B durchführen und die Matrix finden, die f bzgl. der Basis B beschreibt.
Eine mögliche Vorgehensweise:
berechne Ab_i und schreibe das Ergebnis als Koordinatenvektor bzgl. B.
Dies ist dann die i-te Spalte der gesuchten Matrix.
Oder:
berechne zunächst die Transformationsmatrix T, mit welcher man Vektoren, die bzgl B gegeben sind, in solche bzgl E umwandelt.
Es ist T=(b_1, b_2,b_3).
Die Matrix, welche Vektoren bzgl E in solche bzgl B umwandelt, ist die Matrix T^{-1}.
Die Matrix A_B^B, welche die Abbildung f bzgl der Basis B beschreibt, ist die Matrix A_B^B=T^{-1}AT.
>
> Wir sollen also eine Matrix finden, die man durch die Basen
> { [mm](\vektor{1 \\ 0 \\ 0}), (\vektor{1 \\ 1 \\ 0}), (\vektor{1 \\ 1 \\ 1})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } darstellen kann.
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> Das Problem sind die Möglichkeiten, wie man das lösen
> soll.
>
> Auf Wikipedia steht: "Stellt man die Basisvektoren der
> alten Basis als Linearkombinationen der Vektoren der neuen
> Basis dar, so bilden die Koeffizienten dieser
> Linearkombinationen die Einträge der Basiswechselmatrix."
>
> Hier steht nichts von Inverse oder sonst was.
>
> Im Internet habe ich eine Art Kochrezept gefunden:
>
> 1. Die neuen Basisvektoren als Matrix B aufschreiben.
> 2. Die Inverse von B bestimmen, also [mm]B^{-1}[/mm]
> 3. die gesuchte Matrix [mm]C_{gesucht}[/mm] durch: [mm]C_{gesucht}[/mm] =
> [mm]B^{-1}*A*B[/mm]
>
> Ich habe beide Wege an diesem Beispiel versucht und bei
> beiden Wegen kommen jeweils verschiedene Matrizen raus. Das
> kann nicht sein.
Stimmt.
Rechne doch mal vor.
LG Angela
>
> Ich bin echt durcheinander und weiß einfach nicht, wie ich
> einen Basiswechsel durchführen soll.
>
>
> Anmerkung: Dankenswerterweise hatte "FRED" mit vor 3 Wochen
> ebenfalls verraten, wie man eine Abbildungsmatrix bildet,
> aber leider verstehe ich diese Lösung auch nicht. Langsam
> beginnt die Verzweiflung.
>
>
> Ich bitte um Aufklärung.
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