Basiswechsel und Transformatio < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aufgabe 1) Stelle die Vektoren: (1 2 1 2); (1 2 3 1); (3 2 2 1); (-1 -2 1 1); als Linearkombination der Vektoren (1 2 1 2); (1 2 3 1); (3 2 2 1); (-1 -2 1 1); sowie (1 0 0 0); (0 1 0 0); (0 0 1 0); (0 0 0 1) dar.
Gib jeweils eine geeignete Transformationsmatrix an. |
Hi,
Zur Aufgabe:
Ich war in der Übung und weiss wie es geht, die Aufgabe ist ja nun wirklich einfach. Aber ich habe diese Sache mit dem kommutativen Diagramm, mit dem man sich ableiten kann wie man die Transformationsmatrix berechnen kann absolut nicht verstanden...:
Ich weiss folgenden Satz: Um eine Transformation von B nach B' zu vollführen, kann man auch erst von B nach S transformieren, und anschließend von S nach B'. In einem Diagramm eingetragen würde man sagen: Das Diagramm kommutiert.
z.B. ist S nach B ja die inverse Matrix von B nach S. doch wie genau tut man das jetzt in diesem oberen Beispiel "erklären" ?
Vielen Dank!
|
|
| |
|
Hallo!
Die Frage war wahrscheinlich etwas zu weit gefasst fürchte ich.
Deswegen versuche ich jetzt nochmal etwas genauer zu werden:
Also das ganze beschäftigt sich mit dem Thema Basistransformation / Transformationsmatrizen. Wir schreiben bereits Anfang Januar die Klausur, und eine Probeklausur haben wir auch schon. Daher kann ich jetzt sagen, dass es im Prinzip reichen würde zu wissen was man in welchem Fall tun muss...mir wäre es aber bei weitem lieber das ganze zu verstehen.
Ich habe mir anhand einiger Übungsaufgaben und einem Buch hergeleitet was ich bei Aufgaben folgender Art tun muss:
Aufgabentyp 1:
Gegeben ist eine beschreibende Matrix bezüglich der kanonischen Basis. Wir wollen die beschreibende Matrix derselben Abbildung bzgl. einer anderen Basis C finden:
Sei A die die Matrix der Basis C bzgl. der kanonischen Basis.
B sei die gegebene Matrix.
Dann berechnet man die Matrix die die Transformation von der kanonischen Basis in die C-Basis beschreibt mit:
T = (A)^-1 * B * A
Was ist allerdings wenn B nicht bzgl. der kanonsichen sondern einer x-belibigen Basis D gegeben ist? dann kommt eben dieses wir transformieren erst von der Basis D nach kanonische Basis und dann von der kanonsichen Basis nach C ins Spiel denke ich. Doch genau das habe ich nicht verstanden was ich da tun muss.
Aufgabentyp 2:
Gegeben seien zwei Basen A und B. Wir wollen die Koordinatentransformation eines Vektors, der bzgl. einer Basis bekannt ist in die andere Basis darstellen.
Wenn wir von B nach A (oder heisst das von A nach B in diesem Fall?)transformieren wollen muss folgendes gelten: Wir wollen eine Transformationsmatrix finden so dass gilt: T*v = w, wobei v der Koordinatenvektor in der B-Basis und w der Vektor in der A-Basis ist.
Die gesuchte Matrix T lässt sich wieder mit einer einfach Formel berechnen: Sei C eine Matrix der Basis A bzgl. der kan. Basis und D eine Matrix der Basis B bzgl der kan. Basis.
Dann gilt: T = C^-1 * D
Ich denke das diese beiden "Formeln" genau den Zusammenhang haben den ich nicht verstanden habe...
Es gibt noch einen dritten Aufgabentyp, den ich mir nicht herleiten kann den ich mir aber wohl herleiten könnte, wenn ich verstanden hätte wie diese Formeln zustande kommen.
Aufgabentyp 3:
Gegeben ist eine beschreibende Matrix A einer Abbildung. Weiterhin gegeben ist die beschreibende Matrix B der selben Abbildung. Wir sollen mittels geeigneter Basistransformation die Matrix A auf die Matrix B bringen und die neue Basis angeben. Wie gesagt, hier kann ich mir noch absolut nichts vorstellen.
Aufgabentyp 4:
Das war schoneinmal im Eingangsposting hierzu gestanden. Mittlerweile bin ich etwas weitergekommen:
Man hat einen Vektor a (mit Zahlen gegeben) und man soll ihn als Linearkombination eines Vektors b darstellen. Das soll man als MAtrizenprodukt schreiben und natürlich die passende Transformationsmatrix angeben.
Kann es sein, dass dies jetzt erstmal an sich nichts mit Basiswechsel / Koordinatentransformation zu tun hat?
Gibt es bei diesem Fall auch eine so einfach Formel wie in den ersten zwei Aufgabentypen?
So, das ist jetzt ein sehr langer Beitrag...und ich muss auch nochmal sagen dass ich echt dankbar bin, dass ich hier so kompetente und freundliche Hilfe finde.
Auch schon mal vielen Dank im vorraus.
EDITIERT: So, der Hinweis zu Transformationsmatrizen beim Lineare Algebra für Dummköpfe hat mich nach näherem Betrachten jetzt vollkommen verwirrt.
Hier wird jetzt plötzlich mit zwei verschiedenen Basen gearbeitet. Warum? Sie sagen gegeben sei der Raum V mit den Basen B und B'. In meinen Beispielen gab es immer nur eine Basis pro Raum, für was brauchen wir zwei Basen? Genau da liegt der Punkt: Wenn ich verstehen würde was da vor sich geht würde man den Zusammenhang wahrscheinlich recht leicht sehen können.
lg.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:54 Di 11.12.2007 | | Autor: | nahpets87 |
Peinlich, aber diesen Artikel hab ich schon durchgemacht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:54 Fr 14.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:17 Mi 12.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Hallo,
Ich bin immernoch an einer Antwort zu dieser Frage interessiert.
Ich stelle diesmal eine weniger hohe Dringlichkeit ein und hoffe einfach das jemand antwortet. Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:31 Fr 14.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
also wir haben [mm] B_{i}=\{b_{(i,1)},b_{(i,2)},...\} [/mm] Basen mit den dazu gehörigen beschreibende Matrizen [mm] A_{i}.
[/mm]
D.h. [mm] A_{i}*b_{(i,j)}=e_{j}
[/mm]
1)
M = Abbildung bzgl. der Basis [mm] B_{1}
[/mm]
unsere gegebenen Werte sind alle bzgl. der Basis [mm] B_{2} [/mm] angegeben.
dann läuft es genau wie von dir vermutet:
[mm] T=A_{2}^{-1}A_{1}MA_{1}^{-1}A_{2} [/mm] ist dieselbe Abb. bzgl [mm] B_{2}
[/mm]
2)
wegen [mm] A_{2}*b_{(2,j)}=e_{j} [/mm] und [mm] A_{1}^{-1}*e_{j}=b_{(1,j)} [/mm] gilt :
[mm] A_{1}^{-1}A_{2}*b_{(2,j)}=b_{(1,j)}
[/mm]
Den Rest schaue ich mir nochmal an. Aber nicht jetzt.
Ciao.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:15 Sa 15.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Nun gut, auf ein neues.
Ich werde meine Notation der überlichkeithalber mal etwas ändern.
[mm] A=\{a_1,a_2,...\} [/mm] und [mm] B=\{b_1,b_2,...\} [/mm] sind zwei verschiedene Basen.
Die dazu gehörigen, beschreibende Matrizen seien
[mm] T_A=\pmat{ a_1 a_2 ... } [/mm] und [mm] T_B=\pmat{ b_1 b_2 ... }
[/mm]
Dann gilt [mm] T_A e_i=a_i [/mm] und somit auch [mm] T_A^{-1} a_i=e_i.
[/mm]
Jetzt kommt der interessante Teil für 4.
v ein beliebiger Vektor [mm] \in\IR^n
[/mm]
angenommen es gibt eine Linearkombination, so dass
[mm] v=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ ...}=k_1*a_1+k_2*a_2+...=(a_1 a_2 ...)\vektor{k_1\\k_2\\...}=T_A \vektor{k_1\\k_2\\...}
[/mm]
D.h. [mm] v=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ ...}_{E}=\vektor{k_1 \\ k_2 \\ ...}_{A} [/mm] sind die Darstellungen von v bzgl. der Basen [mm] E={e_1,...} [/mm] und A mit
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ ...}_E=T_A\vektor{k_1 \\ k_2 \\ ...}_A [/mm] und [mm] T_A^{-1}\vektor{x_1 \\ x_2 \\ ...}_E=\vektor{k_1 \\ k_2 \\ ...}_A
[/mm]
Damit ist auch 2.) klar.
[mm] T_B^{-1}T_A \vektor{x_1 \\ x_2 \\ ...}_A [/mm] = [mm] \vektor{y_1 \\ y_2 \\ ...}_B [/mm] wobei [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ ...}_A [/mm] = v = [mm] \vektor{y_1 \\ y_2 \\ ...}_B [/mm] sowie [mm] T_B T_A^{-1} a_i [/mm] = [mm] b_i
[/mm]
Für 1.) brauchen wir nun zusätzlich noch [mm] M_E, M_A [/mm] und [mm] M_B, [/mm] ein und dieselbe Abbildung je bezüglich der angegebenen Basis.
Dann sollte [mm] M_A v_A [/mm] = [mm] T_A^{-1} M_E T_A v_A [/mm] sein.
Bei 3.) könnte man [mm] M_B v_B [/mm] = [mm] T_B^{-1} T_A M_A T_A^{-1} T_B v_B [/mm] schreiben. Wenn jedoch die Basis von B nicht gegeben ist, dann ist [mm] T_B [/mm] recht schwer zu finden.
Ich glaube es wäre am sinnvollsten in dem Falle den Weg über die Eigenwerte/-vektoren zu gehen.
Gleicher Eigenwert bedeutet dann gleicher Eigenvektor nur eben in anderer Basisdarstellung. Somit würde man durch die Abbildung der Eigenvektoren aufeinander die Abbildung erhalten, die die Koordinatentransformation von A nach B beschreibt. Ich hoffe mal das stimmt so.
Ciao.
|
|
|
| |
|
Hi und danke für die Antwort(en)!
Kann man praktisch sagen dass es so ist:
Wenn man die Basisvektoren a1,a2,a3 hat, dann würde die Abbildungsmatrix (mein Tutor meinte heute, dass eine Darstellungsmatrix etwas anderes sei als eine Abbildungsmatrix) die von der Basis A in die Standardbasis abbildet einfach so lauten:
a1,a2,a3 als Matrix geschrieben * A
Wenn man hingegen die Abbildungsmatrix bzgl. der Basis C hätte und eine Basis B hat müsste man beides erst bzgl der kanonischen Basis bekommen, also durch:
a1,a2,a3 als Matrix geschrieben * A * C^-1
Also ich bin mir bei dem oberen nicht so wirklich sicher, aber ich bin jetzt zumindeste schon mal etwas weiter und ich fühle mich kurz davor den verfluchten Basiswechsel endlich zu verstehen :D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Hmm, ich denke du hast es ein wenig verwechselt. Mal sehen, ob ich das noch etwas präziser schreiben kann.
A hat die Basis [mm] a_1, a_2, a_3, [/mm] ...
E hat die Standartbasis [mm] e_1, e_2, e_3, [/mm] ...
Die Abbildungsmatrix
bildet die Basisvektoren aufeinander ab.
D.h. für die Abbildungsmatrix [mm] _ET_A [/mm] von E nach A gilt : [mm] _ET_A*e_1=a_1
[/mm]
Es ist recht leicht zu erkennen, dass das dann so aussieht :
[mm] _ET_A*e_1=(a_1 a_2 a_3 ...)*e_1=1*a_1+0*rest=a_1
[/mm]
Somit ist die Abbildungsmatrix von E nach A die Matrix aus den Basisvektoren von A.
Die Abbildungsmatrix von A nach E ist natürlich die Umkehrung [mm] _ET_A^{-1} [/mm] = [mm] _AT_E
[/mm]
Die Darstellungsmatrix
bildet die Darstellung eines Vektors bzgl. einer Basis auf eine andere Darstellung des selben Vektors bzgl. einer anderen Basis ab.
D.h. für die Darstellungsmatrix [mm] _ED_A [/mm] von E nach A gilt : [mm] _ED_A*(x)_E=(y)_A
[/mm]
wobei [mm] x_1*e_1+x_2*e_2+...=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ ...}= [/mm] v = [mm] y_1*a_1+y_2*a_2+... [/mm] somit beschreiben [mm] (x)_E [/mm] und [mm] (y)_A [/mm] wirklich genau den selben Vektor v nur eben je durch Linearkombination der Basisvektoren von E bzw. A.
Wie du im vorherigen Beitrag siehst, ist die Darstellungsmatrix [mm] _ED_A [/mm] von E nach A gleich der Inversen Abbildungsmatrix von E nach A.
[mm] _ED_A [/mm] = [mm] _ET_A^{-1} [/mm] = [mm] _AT_E
[/mm]
Die Rückabbildung ist wieder die Inverse [mm] _AD_E [/mm] = [mm] _ED_A^{-1} [/mm] = [mm] _ET_A [/mm] = [mm] _AT_E^{-1}
[/mm]
Die Verknüpfungen sind dann alle nach dem Muster :
[mm] _ET_B*_AT_E [/mm] = [mm] _AT_B [/mm] ( [mm] =_ET_B*_ET_A^{-1})
[/mm]
Ciao.
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Transformationsmatrizen
