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| Aufgabe | geg. [mm] B_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} [/mm] ,
[mm] B_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm] und A= [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}
[/mm]
gesucht: [mm] A_1 [/mm] = basiswechsel von [mm] B_1 [/mm] nach [mm] B_2 [/mm] von A |
[mm] A_1 [/mm] = [mm] B_2^-1 [/mm] * A * [mm] B_1 [/mm] müsste ja eigentlich die gleichung lauten um die aufgabe zu lösen (steht zumindest so in der lösung). der rechenweg is jetzt nich so wichtig, weil ich ja die lösung hab. ich versteh nur nich warum ich die inverse von [mm] B_2 [/mm] bilden muss um die aufgabe zu lösen.
vielleicht kann mir das einer erklären.
danke schon mal im voraus für die hilfe und schönes restwochenende.
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 So 11.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
wenn [mm] $x=\pmat{x_1\\x_2\\ x_3}$ [/mm] ein Vektor zur Basis [mm] $B_1$ [/mm] ist, dann ist doch $B_1x$ der gleiche Vektor dargestellt zur euklidischen Basis.
Ich hab jetzt A, das einen Vektor zur euklidischen Basis im [mm] $\IR^3$ [/mm] in einen Vektor zur euklidischen Basis im [mm] $\IR^2$ [/mm] verwandelt.
[mm] $\Rightarrow\ [/mm] y:=AB_1x$ wandelt zuerst x in einen Vektor zur euklidischen Basis [mm] ($B_1*x$) [/mm] und wendet dann die lineare Abb A darauf an, um ihn in einen Vektor zur euklidischen Basis im [mm] $\IR^2$ [/mm] zu verwandeln ($y=A*(B_1x)$).
Jetzt hab ich y, und ich will das in einen Vektor zur Basis [mm] $B_2$ [/mm] verwandeln, nennen wir ihn z.
Sagen wir, wir kennen z, dann wandelt $B_2z$ ihn doch wieder zurück in einen Vektor zur euklidischen Basis, analog zu x oben.
Die Darstellung eines Vektors zu einer gegebenen Basis ist eindeutig, also gilt $y=B_2z$, und damit
$y=B_2z\ [mm] \gdw\ B_2^{-1}y=z$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ z=\underbrace{B_2^{-1}AB_1}_{=:A_1}x$
[/mm]
ciao
Stefan
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