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Hallo alle zusammen,
ich habe eine Frage zum Thema Basiswechsel. Und zwar bin ich ziemlich verwirrt was es zum Beispiel bedeutet, wenn man den Vektor [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] aus dem [mm] R^3 [/mm] vor sich hat. Bedeutet dies, dass man im Prinzip [mm] 2b_1+3b_2+4b_3 [/mm] hat und je nach Basis ist dies ein anderer Vektor? Haben die Basisvektoren bzgl der eigenen Basis stets die Form [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}?
[/mm]
Oder muss ich mir das ganze irgendwie anders vorstellen? Ich steige da langsam nicht mehr durch, weil da die wenigsten angeben bzgl. welcher Basis nun die Koordinaten sind.
Vielen Dank schonmal im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich machs 2d um Schreibarbeit zu sparen.
Ein Vektor im [mm] \IR^2 [/mm] existiert schon, wenn du keine Basis hast.
es ist z. Bsp Laenge und Richtung deines Unterarms.
wenn du seine lage aber jemand mitteilen willst musst du eine Basis Wählen: z.bsp 2 Kanten deines Schreibtischs, oder sonstwas. im einen Basissystem wäre es dann [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm] in nem anderen vielleicht [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] in nem dritten [mm] \vektor{7 \\1} [/mm] ohne Mitteilung der Basis ist die Darstellung als zahlenpaar sinnfrei.
Du hast also EINEN Vektor, aber in verschiedenen Basen verschiedene Darstellungen als Zahlenpaar. die Darstellung [mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 3} [/mm] bedeutet nichts anderes als ne vereinbarte darstellung in der gewählten Basis [mm] \vec{e1},\vec{e2}
[/mm]
[mm] \vektor{2 \\ 3}=2*\vec{e1}+3*\vec{e2}
[/mm]
Wenn du ne Basis gewählt hast ist des halb immer [mm] \vec{e1}=\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
nimmst du ne andere Basis b1,b2 so könnte [mm] \vec{e1}=3*\vec{b1}+5±\vec{b2} [/mm] sein. der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] in Basis e ist also der Vektor [mm] \vektor{3 \\ 5} [/mm] in Basis b, aber immer noch derselbe Vektor im Raum.
Gruss leduart
Klarer?
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Do 07.01.2010 | | Autor: | Oberspacko |
Ja astrein, genau das wollte ich wissen. Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen
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