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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Fr 18.07.2008 | | Autor: | schuch99 |
| Aufgabe | Ebene: [mm] r=\pmat{ 1 \\ -6 \\ -1 } [/mm] + [mm] t_{1}\pmat{ -1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] + [mm] t_{2}\pmat{ 2 \\ 3 \\ -2 } [/mm] Punkte: [mm] x_{1}=\pmat{ 4 \\ 3 \\ 2 } x_{2}=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
a) Zeigen Sie mit dem Gauß-Algorithmus, dass der Nullpunkt [mm] x_{2} [/mm] auf der Ebene liegt.
b) Verwenden Sie das Skalarprodukt um die Projektion des Punktes [mm] x_{1} [/mm] auf die Ebene zu berechnen.
c) Entwickeln Sie mit geeigneten Basistransformationen eine Matrix, die auf die Ebene projiziert und überprüfen Sie damit das Ergebnis aus b).
d) Der Punkt [mm] x_{1} [/mm] ist Mittelpunkt einer Kugel, die einen Berührpunkt mit der Ebene hat. Geben Sie die Kugelgleichung an.
e) Geben Sie eine injektive, lineare Funktion f(x)= A*x an bei der Bild(f) durch die obige Ebene dargestellt wird. |
Hallo Mathefreunde,
ich werde demnächst eine Klausur schreiben und hab leider keine Ahnung wie ich c) d) e) lösen soll.
a) und b) habe ich bereits gelöst
Ich weiss ich sollte einen eigene Lösungsansatz haben aber ich habe keine Ahnung.
 = (B)t * A * B --> hab ich, aber da hörts schon auf
Ich danke für eure Antworten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ebene: [mm]r=\pmat{ 1 \\ -6 \\ -1 }[/mm] + [mm]t_{1}\pmat{ -1 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
> + [mm]t_{2}\pmat{ 2 \\ 3 \\ -2 }[/mm] Punkte: [mm]x_{1}=\pmat{ 4 \\ 3 \\ 2 } x_{2}=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
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> a) Zeigen Sie mit dem Gauß-Algorithmus, dass der Nullpunkt
> [mm]x_{2}[/mm] auf der Ebene liegt.
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> b) Verwenden Sie das Skalarprodukt um die Projektion des
> Punktes [mm]x_{1}[/mm] auf die Ebene zu berechnen.
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> c) Entwickeln Sie mit geeigneten Basistransformationen eine
> Matrix, die auf die Ebene projiziert und überprüfen Sie
> damit das Ergebnis aus b).
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich gehe davon aus, daß es sich um eine orthogonale Projektion auf die Ebene E handeln soll.
Was macht diese Projektion? Alle Vektoren, die parallel zur Ebene sind, werden auf sich selbst abgebildet, die, die orthogonal zur Ebene sind, verschwinden.
Nimm als Basis des [mm] \IR³ [/mm] jetzt die Basis, die aus der Basis der Ebene besteht, und welche Du durch einen dazu orthogonalen Vektor zu einer Basis des [mm] \IR³ [/mm] ergänzt.
Nun stell die darstellende Matrix bzgl. dieser basis auf, anschließend kannst Du per Basistransformation noch die darstellende Matrix bzgl. der Standardbasis aufstellen.
Griuß v. Angela
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> d) Der Punkt [mm]x_{1}[/mm] ist Mittelpunkt einer Kugel, die einen
> Berührpunkt mit der Ebene hat. Geben Sie die Kugelgleichung
> an.
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> e) Geben Sie eine injektive, lineare Funktion f(x)= A*x an
> bei der Bild(f) durch die obige Ebene dargestellt wird.
> Hallo Mathefreunde,
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> ich werde demnächst eine Klausur schreiben und hab leider
> keine Ahnung wie ich c) d) e) lösen soll.
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> a) und b) habe ich bereits gelöst
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> Ich weiss ich sollte einen eigene Lösungsansatz haben aber
> ich habe keine Ahnung.
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> Â = (B)t * A * B --> hab ich, aber da hörts schon auf
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> Ich danke für eure Antworten
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ebene: [mm]r=\pmat{ 1 \\ -6 \\ -1 }[/mm] + [mm]t_{1}\pmat{ -1 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
> + [mm]t_{2}\pmat{ 2 \\ 3 \\ -2 }[/mm] Punkte: [mm]x_{1}=\pmat{ 4 \\ 3 \\ 2 } x_{2}=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
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> a) Zeigen Sie mit dem Gauß-Algorithmus, dass der Nullpunkt
> [mm]x_{2}[/mm] auf der Ebene liegt.
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> b) Verwenden Sie das Skalarprodukt um die Projektion des
> Punktes [mm]x_{1}[/mm] auf die Ebene zu berechnen.
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> c) Entwickeln Sie mit geeigneten Basistransformationen eine
> Matrix, die auf die Ebene projiziert und überprüfen Sie
> damit das Ergebnis aus b).
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> d) Der Punkt [mm]x_{1}[/mm] ist Mittelpunkt einer Kugel, die einen
> Berührpunkt mit der Ebene hat. Geben Sie die Kugelgleichung
> an.
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Hallo,
wenn die Ebene E Tangentialebene einer Kugel mit Mittelpunkt [mm] x_1 [/mm] sein soll, ist die Verbindungsgerade zwischen dem Mittelpunkt und dem gemeinsamen Punkt von Kreis und Kugel senkrecht zur Ebene, also in Richtung des Normalenvektors.
Dies sollte Dich auf eine Idee bringen.
Gruß v. Angela
> e) Geben Sie eine injektive, lineare Funktion f(x)= A*x an
> bei der Bild(f) durch die obige Ebene dargestellt wird.
> Hallo Mathefreunde,
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> ich werde demnächst eine Klausur schreiben und hab leider
> keine Ahnung wie ich c) d) e) lösen soll.
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> a) und b) habe ich bereits gelöst
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> Ich weiss ich sollte einen eigene Lösungsansatz haben aber
> ich habe keine Ahnung.
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> Â = (B)t * A * B --> hab ich, aber da hörts schon auf
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> Ich danke für eure Antworten
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> Ebene: [mm]r=\pmat{ 1 \\ -6 \\ -1 }[/mm] + [mm]t_{1}\pmat{ -1 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
> + [mm]t_{2}\pmat{ 2 \\ 3 \\ -2 }[/mm] Punkte: [mm]x_{1}=\pmat{ 4 \\ 3 \\ 2 } x_{2}=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
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> a) Zeigen Sie mit dem Gauß-Algorithmus, dass der Nullpunkt
> [mm]x_{2}[/mm] auf der Ebene liegt.
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> b) Verwenden Sie das Skalarprodukt um die Projektion des
> Punktes [mm]x_{1}[/mm] auf die Ebene zu berechnen.
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> c) Entwickeln Sie mit geeigneten Basistransformationen eine
> Matrix, die auf die Ebene projiziert und überprüfen Sie
> damit das Ergebnis aus b).
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> d) Der Punkt [mm]x_{1}[/mm] ist Mittelpunkt einer Kugel, die einen
> Berührpunkt mit der Ebene hat. Geben Sie die Kugelgleichung
> an.
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> e) Geben Sie eine injektive, lineare Funktion f(x)= A*x an
> bei der Bild(f) durch die obige Ebene dargestellt wird.
Hallo,
hier ist es erstmal wichtig, sich zu vergegenwärtigen, daß die Ebene eine Ebene durch den Nullpunkt ist - sonst würde das nämlich nicht klappen, denn Kern und Bild linearer Abbildungen sind immer Vektorräume.
Welche Vektoren spannen die Ebene auf?
Weißt Du, wie man an der darstellenden Matrix einer Abbildung ihr Bild ablesen kann? Es ist der Raum, der von den Spaltenvektoren erzeugt wird.
Überlege Dir nun, aus welchem Raum heraus Du injektiv auf die Ebene abbilden kannst. Kann es eine dreidimensionaler Raum sein?
Bedenke, daß bei injektiven linearen Abbildungen der Kern nur aus der Null besteht.
Gruß v. Angela
> Hallo Mathefreunde,
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> ich werde demnächst eine Klausur schreiben und hab leider
> keine Ahnung wie ich c) d) e) lösen soll.
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> a) und b) habe ich bereits gelöst
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> Ich weiss ich sollte einen eigene Lösungsansatz haben aber
> ich habe keine Ahnung.
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> Â = (B)t * A * B --> hab ich, aber da hörts schon auf
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> Ich danke für eure Antworten
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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