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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Leader |
| Aufgabe | Beispiel:
Sei K ein 2-dimensionaler Vektorraum mit der Standardbasis B1.
Gegeben sei der Koordinatenvektor A := [mm] \vektor{2 \\ 5} [/mm] bezüglich B1.
Sei nun B2 eine andere Basis des Raums [mm] K^2. [/mm]
B2 := [mm] \vektor{1 \\ 2}, \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Wie lautet nun der Koordinatenvektor A bezüglich der Basis B2? |
Hallo.
Ich habe eine Frage zur Basistransformation, weil ich hierbei immer noch nicht richtig durchblicke.
Wie müsste ich vorgehen, um die obige Beispielaufgabe zu lösen? In unserem Matheskript steht irgendetwas von einer inversen Transformationsmatrix, ich weiß aber nicht konkret, wie man die bildet bzw. wie man dann auf die Koordinaten des Koordinatenvektors bezüglich einer anderen Basis gelangt.
Freundliche Grüße,
Leader.
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> Beispiel:
>
> Sei K ein 2-dimensionaler Vektorraum mit der Standardbasis
> B1.
>
> Gegeben sei der Koordinatenvektor A := [mm]\vektor{2 \\ 5}[/mm]
> bezüglich B1.
>
> Sei nun B2 eine andere Basis des Raums [mm]K^2.[/mm]
>
> B2 := [mm]\vektor{1 \\ 2}, \vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> Wie lautet nun der Koordinatenvektor A bezüglich der Basis
> B2?
.
> Wie müsste ich vorgehen, um die obige Beispielaufgabe zu
> lösen?
Hallo,
wenn Du [mm] \vektor{2 \\ 5}_{B_1} [/mm] bzgl. [mm] B_2 [/mm] darstellen möchtest,
mußt Du die a,b finden mit
[mm] a\vektor{1 \\ 2}+b\vektor{1 \\ 1}=\vektor{2 \\ 5},
[/mm]
was auf die Lösung eines LGS hinausläuft.
Hast Du a und b gefunden, dann ist [mm] \vektor{2 \\ 5}_{B_1}=\vektor{a \\ b}_{B_2}.
[/mm]
In unserem Matheskript steht irgendetwas von einer
> inversen Transformationsmatrix, ich weiß aber nicht
> konkret, wie man die bildet bzw. wie man dann auf die
> Koordinaten des Koordinatenvektors bezüglich einer anderen
> Basis gelangt.
So kann man das auch machen.
Das geht so:
steckst Du die Spalten von [mm] B_2 [/mm] in eine Matrix [mm] M:=\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 1 },
[/mm]
so ist das die Matrix, welche Dir [mm] B_2 [/mm] in Koordinaten bzgl. [mm] B_1 [/mm] liefert.
Stecke ich den ersten Basisbektor von [mm] B_2 [/mm] in Koordinaten bzgl. [mm] B_2 [/mm] hinein, [mm] \vektor{1 \\ 0}_{B_2}, [/mm] so erhalte ich genau diesen Vektor in Koordinaten bzgl. [mm] B_1, [/mm] der kanonischen Basis. Probier's aus.
Willst Du Vektoren, die in Koordinaten bzgl. der Standardbasis gegeben sind, umwandeln in solche in Koordinaten bzgl. [mm] B_2,
[/mm]
kannst Du das erreichen, indem Du sie mit [mm] M^{-1} [/mm] multiplizierst.
[mm] M^{-1} [/mm] ist die Matrix, die Dir die Transformation von [mm] B_1 [/mm] nach [mm] B_2 [/mm] durchführt.
Gruß v. Angela
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