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Forum "Abbildungen und Matrizen" - Basistransf. Jordan.-n.f
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Basistransf. Jordan.-n.f: Korrektur und Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 So 20.05.2012
Autor: Xento

Aufgabe
Sei A=[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 29 \\ -1 & 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ \end{pmatrix} [/mm]

Bestimme die Jordannomalform und ein B so, dass J=BAB^(-1)

Also: das Char.Pol lautet [mm] (1-X)^4 [/mm] (-2-X). Der Rang von (A-1E) ist 3 (erste und 4te Spalte sind lin abh. , 2te ist eine Nullspalte und die letzten 3 sind dann lin unabhäng. ) Nach kurzer Rechnung ergibt sich, dass der Rang von [mm] (A-1E)^2 [/mm] gleich 2 ist und die folgenden 2 potenzn den Rang 1 jeweils haben.

Somit ergibt sich für mich dass Anzahl der Jordanblücke der Göße 1 (zum EW 1) ist 2*a1-a0-a2=1 und die Anzahl der Größe 3 ist 2*a3-a2-a4=1 wobei [mm] ai=dim(V)-rank(A-1E)^i [/mm] (und dim(V) ist hier 5)

Somit bekomme ich folgendes:

J=[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ \end{pmatrix} [/mm]

Ok meine ersteFrage würde dann sein ob das überhaupt stimmt. Mein anderes problem ist, dass ich ab hier nicht weiter komme denn so wie ich es verstanden hab müsste ich wie folgt vorgehen:

Ich bestimme kern(A-1E):=x und [mm] Kern(A-1E)^3:=y [/mm]
Für´s erste erhalte ich span{ (1 0 0 1 [mm] 0)^t [/mm] , (0 1 0 0 [mm] 0)^t [/mm] }
Für´s zweite span{ (1 0 0 0 [mm] 0)^t [/mm] , (0 1 0 0 [mm] 0)^t [/mm] , (0 0 1 0 [mm] 0)^t [/mm] , (0 0 0 1 [mm] 0)^t [/mm]  }

Dann wähle ich ein Vektor v aus y ohne x und berechne w mit (A-1E)w=v. Sobald ich das hab rechne ich m aus mit (A-1E)m=w. Damit sieht mein B wie folgt aus B=(m w v ? ?).

hier bleib ich stecken weil egal was ich bisher für v gewählt hab bekomme ich eine Ungleichung z.B.: wähle ich v=(1 0 0 0 [mm] 0)^t [/mm] müsste es ein w so geben, dass (A-1E)w=(1 0 0 0 [mm] 0)^t [/mm] was aber nicht aufgeht. Wähle ich v=(0 0 1 0 [mm] 0)^t [/mm] geht der erste Schritt auf, der zweite aber nicht.

Was ist mein Fehlerß Hab ich was falsch berechnet, ist die Methode komplet Falsch oder woran liegt es sont?

Mfg Robert

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Basistransf. Jordan.-n.f: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Mo 21.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Xento,


[willkommenmr]


> Sei A=[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 29 \\ -1 & 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Bestimme die Jordannomalform und ein B so, dass J=BAB^(-1)
>  Also: das Char.Pol lautet [mm](1-X)^4[/mm] (-2-X). Der Rang von
> (A-1E) ist 3 (erste und 4te Spalte sind lin abh. , 2te ist
> eine Nullspalte und die letzten 3 sind dann lin unabhäng.
> ) Nach kurzer Rechnung ergibt sich, dass der Rang von
> [mm](A-1E)^2[/mm] gleich 2 ist und die folgenden 2 potenzn den Rang
> 1 jeweils haben.
>  
> Somit ergibt sich für mich dass Anzahl der Jordanblücke
> der Göße 1 (zum EW 1) ist 2*a1-a0-a2=1 und die Anzahl der
> Größe 3 ist 2*a3-a2-a4=1 wobei [mm]ai=dim(V)-rank(A-1E)^i[/mm]
> (und dim(V) ist hier 5)
>  
> Somit bekomme ich folgendes:
>  
> J=[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Ok meine ersteFrage würde dann sein ob das überhaupt
> stimmt. Mein anderes problem ist, dass ich ab hier nicht
> weiter komme denn so wie ich es verstanden hab müsste ich
> wie folgt vorgehen:


Ja,das stimmt. [ok]


>  
> Ich bestimme kern(A-1E):=x und [mm]Kern(A-1E)^3:=y[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  Für´s erste erhalte ich span{ (1 0 0 1 [mm]0)^t[/mm] , (0 1 0 0
> [mm]0)^t[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  Für´s zweite span{ (1 0 0 0 [mm]0)^t[/mm] , (0 1 0 0 [mm]0)^t[/mm] , (0 0
> 1 0 [mm]0)^t[/mm] , (0 0 0 1 [mm]0)^t[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

  }

>  
> Dann wähle ich ein Vektor v aus y ohne x und berechne w
> mit (A-1E)w=v. Sobald ich das hab rechne ich m aus mit
> (A-1E)m=w. Damit sieht mein B wie folgt aus B=(m w v ? ?).
>  


Es wird noch der  [mm]Kern(A-1E)^2[/mm] benötigt.

Dann wählst Du einen Vektor [mm]v \in Kern(A-1E)^3[/mm],
und [mm]v \notin Kern(A-1E)^2 \cup Kern(A-1E)[/mm]


> hier bleib ich stecken weil egal was ich bisher für v
> gewählt hab bekomme ich eine Ungleichung z.B.: wähle ich
> v=(1 0 0 0 [mm]0)^t[/mm] müsste es ein w so geben, dass (A-1E)w=(1
> 0 0 0 [mm]0)^t[/mm] was aber nicht aufgeht. Wähle ich v=(0 0 1 0
> [mm]0)^t[/mm] geht der erste Schritt auf, der zweite aber nicht.
>  
> Was ist mein Fehlerß Hab ich was falsch berechnet, ist die
> Methode komplet Falsch oder woran liegt es sont?
>  
> Mfg Robert
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruss
MathePower

Bezug
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