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Basisbestimmung der Dualbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 Do 19.04.2012
Autor: yangwar1

Aufgabe
Es sei V der [mm] \IR [/mm] Vektorraum der Polynome über [mm] \IR [/mm] vom Grad höchstens 2. Wir betrachten die Basis B = [mm] (1,X-1,(X-1)^2). [/mm]
1. Bestimmen Sie die zu B gehörende Dualbasis B* = [mm] (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3). [/mm] Geben Sie für i=1,...,3 jeweils [mm] \lambda_i(a_0+a_1X+a_2X^2) [/mm] an.



Nach Definition muss doch gelten, dass [mm] \lambda_i(v_j)=0, [/mm] falls i [mm] \not= [/mm] j und [mm] \lambda_i(v_j)=1, [/mm] falls i=j. Also zur Bestimmung des ersten Basisvektor der Dualbasis B* zu B ein [mm] \lambda_1 [/mm] gefunden werden, sodass:
[mm] \lambda_1(1)=1, \lambda_1(X-1)=0 [/mm] und [mm] \lambda_1((x-1)^2)=0. [/mm]
Allgemein bildet [mm] \lambda [/mm] Funktionen der Form [mm] a_0+a_1X+a_2X^2 [/mm] ab.
Für [mm] \lambda_1(1) [/mm] wäre ein mögliche Funktion doch:
[mm] \lambda_1(a_0+a_1X+a_2X^2):=a_0+a_1+a_2, [/mm] da dann gilt:
[mm] \lambda_1(1)=1+0+0=1, \lambda_1(X-1)=1-1+0=0, \lambda_1(x^2-2x+1)=\lambda_1((x-1)^2)=1-2+1=0 [/mm]

        
Bezug
Basisbestimmung der Dualbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:39 Do 19.04.2012
Autor: rainerS

Hallo!

> Es sei V der [mm]\IR[/mm] Vektorraum der Polynome über [mm]\IR[/mm] vom Grad
> höchstens 2. Wir betrachten die Basis B =
> [mm](1,X-1,(X-1)^2).[/mm]
>  1. Bestimmen Sie die zu B gehörende Dualbasis B* =
> [mm](\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3).[/mm] Geben Sie für i=1,...,3
> jeweils [mm]\lambda_i(a_0+a_1X+a_2X^2)[/mm] an.
>  
>
> Nach Definition muss doch gelten, dass [mm]\lambda_i(v_j)=0,[/mm]
> falls i [mm]\not=[/mm] j und [mm]\lambda_i(v_j)=1,[/mm] falls i=j. Also zur
> Bestimmung des ersten Basisvektor der Dualbasis B* zu B ein
> [mm]\lambda_1[/mm] gefunden werden, sodass:
>  [mm]\lambda_1(1)=1, \lambda_1(X-1)=0[/mm] und [mm]\lambda_1((x-1)^2)=0.[/mm]
> Allgemein bildet [mm]\lambda[/mm] Funktionen der Form
> [mm]a_0+a_1X+a_2X^2[/mm] ab.
> Für [mm]\lambda_1(1)[/mm] wäre ein mögliche Funktion doch:
>  [mm]\lambda_1(a_0+a_1X+a_2X^2):=a_0+a_1+a_2,[/mm] da dann gilt:
>  [mm]\lambda_1(1)=1+0+0=1, \lambda_1(X-1)=1-1+0=0, \lambda_1(x^2-2x+1)=\lambda_1((x-1)^2)=1-2+1=0[/mm]

Nicht nur eine mögliche, sondern die einzige.

Tipp: Schreibe

[mm] a_0+a_1X+a_2X^2 =a_0 +a_1[(X-1)+1] + a_2 [(X-1)^2 +2(X-1) +1] = a_2(X-1)^2 +(2a_2+a_1)(X-1) +(a_0+a_1+a_2)*1[/mm].

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
        
Bezug
Basisbestimmung der Dualbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Mo 23.04.2012
Autor: Fincayra

Hi


> Für [mm]\lambda_1(1)[/mm] wäre ein mögliche Funktion doch:
>  [mm]\lambda_1(a_0+a_1X+a_2X^2):=a_0+a_1+a_2,[/mm] da dann gilt:
>  [mm]\lambda_1(1)=1+0+0=1, \lambda_1(X-1)=1-1+0=0, \lambda_1(x^2-2x+1)=\lambda_1((x-1)^2)=1-2+1=0[/mm]
>  

Kann mir bitte jemand erklären, wie ich darauf komme?

LG

Bezug
                
Bezug
Basisbestimmung der Dualbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Mo 23.04.2012
Autor: rainerS

Hallo!


> > Für [mm]\lambda_1(1)[/mm] wäre ein mögliche Funktion doch:
>  >  [mm]\lambda_1(a_0+a_1X+a_2X^2):=a_0+a_1+a_2,[/mm] da dann gilt:
>  >  [mm]\lambda_1(1)=1+0+0=1, \lambda_1(X-1)=1-1+0=0, \lambda_1(x^2-2x+1)=\lambda_1((x-1)^2)=1-2+1=0[/mm]
> >  

>
> Kann mir bitte jemand erklären, wie ich darauf komme?

Das habe ich meiner Antwort doch fast komplett vorgerechnet. Du brauchst nur noch die Linearität und die Definition der dualen Basis einsetzen.

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
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