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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Basis zum Unterraum
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Basis zum Unterraum: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Do 12.07.2012
Autor: Big_Head78

Aufgabe
Es seien U, W Unterräume des [mm] \IR^4 [/mm] mit

U= { [mm] \vektor{3\\1\\3\\-2 }; \vektor{2\\1\\2\\0}; \vektor{0\\1\\0\\4} [/mm] }

W= { [mm] \vektor{1\\1\\1\\2}; \vektor{1\\2\\1\\2}; \vektor{1\\3\\1\\2} [/mm] }.

Bestimmen sie zu U, W, U [mm] \cap [/mm] W und U+W je eine Basis und die Dimension.


Hallo,

so mal die Basis zu U:

ich transponiere die Vektoren und bringe sie in Trapezform Damit ich sehe, ob sie lin. abh. sind.

Also:

[mm] \pmat{ 3&1&3&-2 \\ 2&1&2&0 \\ 0&1&0&4 } [/mm]

II - [mm] \bruch{2}{3}I \Rightarrow \pmat{ 3&1&3&-2 \\ 0&\bruch{1}{3}&0& \bruch{4}{3} \\ 0&1&0&4 } [/mm]

3*II [mm] \Rightarrow \pmat{ 3&1&3&-2 \\ 0&1&0&4 \\ 0&1&0&4 } [/mm]

III - II [mm] \Rightarrow \pmat{ 3&1&3&-2 \\ 0&1&0&4 \\ 0&0&0&0 } [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] { [mm] \vektor{3\\1\\3\\-2 }; \vektor{0\\1\\0\\4} [/mm] } bilden Basis von U

[mm] \Rightarrow [/mm] dim(U)=2

Richtig?

        
Bezug
Basis zum Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Do 12.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Big_Head78,

> Es seien U, W Unterräume des [mm]\IR^4[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

mit

>  
> U= { [mm]\vektor{3\\1\\3\\-2 }; \vektor{2\\1\\2\\0}; \vektor{0\\1\\0\\4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> }
>  
> W= { [mm]\vektor{1\\1\\1\\2}; \vektor{1\\2\\1\\2}; \vektor{1\\3\\1\\2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> }.
>  
> Bestimmen sie zu U, W, U [mm]\cap[/mm] W und U+W je eine Basis und
> die Dimension.
>  
> Hallo,
>  
> so mal die Basis zu U:
>  
> ich transponiere die Vektoren und bringe sie in Trapezform
> Damit ich sehe, ob sie lin. abh. sind.
>  
> Also:
>  
> [mm]\pmat{ 3&1&3&-2 \\ 2&1&2&0 \\ 0&1&0&4 }[/mm]
>
> II - [mm]\bruch{2}{3}I \Rightarrow \pmat{ 3&1&3&-2 \\ 0&\bruch{1}{3}&0& \bruch{4}{3} \\ 0&1&0&4 }[/mm]
>  
> 3*II [mm]\Rightarrow \pmat{ 3&1&3&-2 \\ 0&1&0&4 \\ 0&1&0&4 }[/mm]
>  
> III - II [mm]\Rightarrow \pmat{ 3&1&3&-2 \\ 0&1&0&4 \\ 0&0&0&0 }[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{ [mm]\vektor{3\\1\\3\\-2 }; \vektor{0\\1\\0\\4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

> bilden Basis von U
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim(U)=2
>  
> Richtig?


Ja. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Basis zum Unterraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:06 Do 12.07.2012
Autor: Big_Head78

Gut...

ich habe jetzt auch:

W: { [mm] \vektor{1\\0\\1\\2}; \vektor{0\\1\\0\\0} [/mm] } bildet Basis von W, dim(W)=2

U+W: { [mm] \vektor{1\\0\\1\\0}; \vektor{0\\0\\0\\1}; \vektor{0\\1\\0\\0} [/mm] } bildet Basis von U+W, dim(U+W)=3

dann mit der Dimensionsformel dim(U [mm] \cap [/mm] W) bestimmen:

dim(U [mm] \cap [/mm] W)= dim(U)+dim(W)-dim(U+W)=2+2-3=1

So und nun suche ich eine Basis für dim(U [mm] \cap [/mm] W), bekomme ich aber nicht hin...kann mir  da jemand helfen?

Bezug
                        
Bezug
Basis zum Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Do 12.07.2012
Autor: MathePower

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Big_Head78,

> Gut...
>  
> ich habe jetzt auch:
>  
> W: { [mm]\vektor{1\\0\\1\\2}; \vektor{0\\1\\0\\0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

} bildet

> Basis von W, dim(W)=2
>  
> U+W: { [mm]\vektor{1\\0\\1\\0}; \vektor{0\\0\\0\\1}; \vektor{0\\1\\0\\0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> } bildet Basis von U+W, dim(U+W)=3

>


[ok]

  

> dann mit der Dimensionsformel dim(U [mm]\cap[/mm] W) bestimmen:
>  
> dim(U [mm]\cap[/mm] W)= dim(U)+dim(W)-dim(U+W)=2+2-3=1
>  
> So und nun suche ich eine Basis für dim(U [mm]\cap[/mm] W), bekomme
> ich aber nicht hin...kann mir  da jemand helfen?


Der gesuchte Vektor ist der,
der sowohl in U als auch in W liegt.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Basis zum Unterraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Do 12.07.2012
Autor: Big_Head78

Also sowohl die Basis von U als auch die Basis von W spannen eine Ebene auf, der Schnitt der beiden ist dann eine Gerade und ich erhalte das LGS:

[mm] x_1*\vektor{3\\1\\3\\-2}+x_2*\vektor{0\\1\\0\\4}=x_3*\vektor{1\\0\\1\\2}+x_4*\vektor{0\\1\\0\\0} \gdw [/mm]
[mm] x_1*\vektor{3\\1\\3\\-2}+x_2*\vektor{0\\1\\0\\4}+x_3*\vektor{1\\0\\1\\2}+x_4*\vektor{0\\1\\0\\0}=0 [/mm]

richtig bis hier?

Mit dem Wissen, dass der Schnitt eine gerade ist, weiss ich doch auch schon, dass es einen Parameter gibt, oder? Das passt dann ja auch zur dim(U [mm] \cap [/mm] W)=1.
Die Lösung hat also die Gestalt: [mm] \lambda*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] wobei [mm] x_i [/mm] jeweils eine Zahl ist.

Richtig vermutet?


Bezug
                                        
Bezug
Basis zum Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Do 12.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Big_Head78,


> Also sowohl die Basis von U als auch die Basis von W
> spannen eine Ebene auf, der Schnitt der beiden ist dann
> eine Gerade und ich erhalte das LGS:
>  
> [mm]x_1*\vektor{3\\ 1\\ 3\\ -2}+x_2*\vektor{0\\ 1\\ 0\\ 4}=x_3*\vektor{1\\ 0\\ 1\\ 2}+x_4*\vektor{0\\ 1\\ 0\\ 0} \gdw[/mm]
> [mm]x_1*\vektor{3\\ 1\\ 3\\ -2}+x_2*\vektor{0\\ 1\\ 0\\ 4}+x_3*\vektor{1\\ 0\\ 1\\ 2}+x_4*\vektor{0\\ 1\\ 0\\ 0}=0[/mm]
>  
> richtig bis hier? [ok]
>  
> Mit dem Wissen, dass der Schnitt eine gerade ist, weiss ich
> doch auch schon, dass es einen Parameter gibt, oder? Das
> passt dann ja auch zur dim(U [mm]\cap[/mm] W)=1.
>   Die Lösung hat also die Gestalt: [mm]\lambda*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]
> wobei [mm]x_i[/mm] jeweils eine Zahl ist.

Das ist ein bissl blöd bezeichnet, weil du die [mm]x_i[/mm] schon als Koeffizienten verbraucht hast.

Du kannst die obige erste Vektorgleichung in ein LGS umwandeln und etwa [mm]x_2,x_3,x_4[/mm] eliminieren und bekommst als Lösung [mm]x_1\cdot{}\vektor{a\\ b\\ c\\ d}[/mm], wobei dann [mm]\left\{\vektor{a\\ b\\ c\\ d}\right\}[/mm] eine Basis des Schnittes ist.

Rechne das mal konkret aus ...

>  
> Richtig vermutet?

Gruß

schachuzipus


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