Basis von Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Mi 10.01.2018 | | Autor: | Tobikall |
| Aufgabe | Es seien K ein Körper und V,W Vektorräume über K. Auf V xW seien + : (V xW)× (V xW) → V xW und · : K x(V xW) → V xW definiert durch
(v1,w1) + (v2,w2) = (v1 + v2,w1 + w2),
α·(v1,w1) = (α·v1,α·w1)
für (v1,w1),(v2,w2) ∈ V ×W und α ∈ K.
Aufgabe:
Es seien m,n ∈ N und x1,...,xn eine Basis von V sowie y1,...,ym eine Basis von W. Zeigen Sie, dass
(x1,0),...,(xn,0),(0,y1),...,(0,ym) eine Basis von V ×W ist. |
Hallo,
bei dem Beweis komm ich nicht weiter. Man kann doch mit dem Basisergänzugnssatz und der linearen Unabhängigkeit der einzelnen Vektoren hier argumentieren, nur mit der Verknüpfung von V und W weiß ich nicht wie man das zeigen soll? Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Mi 10.01.2018 | | Autor: | fred97 |
> Es seien K ein Körper und V,W Vektorräume über K. Auf V
> xW seien + : (V xW)× (V xW) → V xW und · : K x(V xW)
> → V xW definiert durch
> (v1,w1) + (v2,w2) = (v1 + v2,w1 + w2),
> α·(v1,w1) = (α·v1,α·w1)
> für (v1,w1),(v2,w2) ∈ V ×W und α ∈ K.
>
> Aufgabe:
> Es seien m,n ∈ N und x1,...,xn eine Basis von V sowie
> y1,...,ym eine Basis von W. Zeigen Sie, dass
> (x1,0),...,(xn,0),(0,y1),...,(0,ym) eine Basis von V ×W
> ist.
> Hallo,
> bei dem Beweis komm ich nicht weiter. Man kann doch mit
> dem Basisergänzugnssatz und der linearen Unabhängigkeit
> der einzelnen Vektoren hier argumentieren, nur mit der
> Verknüpfung von V und W weiß ich nicht wie man das zeigen
> soll? Hilfe!
Zeige es direkt !
Sei [mm] b_1=(x_1,0),...,b_n=(x_n,0) [/mm] und [mm] c_1=(0,y_1),...,c_m=(0,y_m).
[/mm]
Zeige:
1. Jedes $(v,w) [mm] \in [/mm] V [mm] \times [/mm] W$ läst sich als Linearkombination der Vektoren [mm] $b_1,...,b_n,c_1,...c_m$ [/mm] darstellen.
Dann ist [mm] $b_1,...,b_n,c_1,...c_m$ [/mm] ein Erzeugendensystem von $ V [mm] \times [/mm] W$.
2. die Vektoren [mm] $b_1,...,b_n,c_1,...c_m$ [/mm] sind linear unabhängig sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mi 10.01.2018 | | Autor: | Tobikall |
Ok danke schonmal nur liegt hier genau mein Problem :(.
Ich bin mir unsicher wie ich genau den Beweis notieren kann und soll, wenn du mir evtl. nur den Ansatz gibts, sodass ich weitermachen kann wäre das super.
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Hiho,
> Ok danke schonmal nur liegt hier genau mein Problem :(.
> Ich bin mir unsicher wie ich genau den Beweis notieren
> kann und soll, wenn du mir evtl. nur den Ansatz gibts,
> sodass ich weitermachen kann wäre das super.
fred hat doch eigentlich bereits alles hingeschrieben…
Zeige: $(v,w)$ lässt sich als Linearkombination schreiben von [mm] $b_1,...,b_n,c_1,...c_m [/mm] $
1.) Es ist $(v,w) = (v,0) + (0,w)$.
2.) Nun ist $v [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $x_1,\ldots,x_n$ [/mm] eine Basis von V, daher lässt sich v schreiben als $v = [mm] \ldots$ [/mm] und damit $(v,0) = [mm] (\ldots,0) [/mm] = [mm] \ldots$ [/mm] (hier sollte eine Linearkombination der [mm] $b_i$'s [/mm] stehen).
3.) Nun ist $w [mm] \in [/mm] W$ und [mm] $y_1,\ldots,y_n$ [/mm] eine Basis von W, daher lässt sich w schreiben als $w = [mm] \ldots$ [/mm] und damit $(0,w) = [mm] (0,\ldots) [/mm] = [mm] \ldots$ [/mm] (hier sollte eine Linearkombination der [mm] $c_i$'s [/mm] stehen).
4.) Aus 1.) 2.) und 3.) folgt dann (v,w) = [mm] \ldots [/mm] (hier steht dann eine Linearkombination von [mm] $b_1,...,b_n,c_1,...c_m [/mm] $)
Für die lineare Unabhängigkeit nenne erst mal die Definition davon, dann sehen wir weiter.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Mi 10.01.2018 | | Autor: | Tobikall |
Danke für die Hilfe es hat geklappt und ich habe die Aufgabe gelöst!
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