Basis und lineare Unabhäng. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der folgenden Vektoren bilden jeweils eine Basis des [mm] $\IR^{3}$?
[/mm]
[mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 1}$
[/mm]
[mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{2 \\ 2 \\ 0},\vektor{3 \\ 3 \\ 3}$
[/mm]
[mm] $\vektor{1 \\ 2 \\ 3},\vektor{4 \\ 5 \\ 6},\vektor{7 \\ 8 \\ 9}$
[/mm]
[mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{1 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 1},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}$ [/mm] |
Hallo.
Ich habe Probleme damit, zu beweisen, dass nur die Vektoren [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{2 \\ 2 \\ 0},\vektor{3 \\ 3 \\ 3}$ [/mm] eine Basis bilden.
So gehe ich vor:
[mm] $\alpha\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+\beta\vektor{2 \\ 2 \\ 0}=\vektor{3 \\ 3 \\ 3}$
[/mm]
[mm] $1*\alpha+2*\beta=3$
[/mm]
[mm] $0*\alpha+2*\beta=3$
[/mm]
[mm] $0*\alpha+0*\beta=3$
[/mm]
Die zweite Gleichung ergibt:
[mm] $\beta=1,5$
[/mm]
Setze in die erste Gleichung ein:
[mm] $\alpha+3=3$
[/mm]
[mm] $\alpha=0$
[/mm]
Da [mm] $\alpha\not=\beta$ [/mm] liegt hier lineare Abhängigkeit vor.
Meine Frage:
Habe ich etwas falsch gemacht, oder ist die Musterlösung falsch?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
Musterlösung:
Eine Basis des [mm] $\IR^{3}$ [/mm] muss drei linear unabhängige Vektoren enthalten. Wegen [mm] $\vektor{7 \\ 8 \\ 9}=-\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+2\vektor{4 \\ 5 \\ 6}$ [/mm] bilden nur die Vektoren [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{2 \\ 2 \\ 0},\vektor{3 \\ 3 \\ 3}$ [/mm] eine Basis.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Sa 10.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast zwar recht, dass die 3 lin unabh sind, aber dein Argument ist falsch. warum sollte [mm] \alpha=\beta [/mm] sein wenn sie lin abh. sind?
richtig ist : wenn deine 3 Vektoren lin. unabh. sind, dann muss gelten:
[mm] \alpha*v1+\beta*v2*\gamma*v3=0 [/mm] ist nur mit [mm] \alpha=\beta=\gamma=0 [/mm] zu erreichen.
Schreib die 3 Vektoren als Zeilen oder Spalten einer Matrix und bring die auf Dreiecksform. dann kann man es sofort sehen.
die letzten 4 Vektoren bilden zwar keine Basis, aber ein Erzeugendensystem, d.h. du kannst 3 davon als Basis nehmen.
Gruss leduart
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Danke leduart.
Ich gehe den "klassischen" Weg:
[mm] $\alpha\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+\beta\vektor{2 \\ 2 \\ 0}+\gamma\vektor{3 \\ 3 \\ 3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $1*\alpha+2*\beta+3*\gamma=0$
[/mm]
[mm] $0*\alpha+2*\beta+3*\gamma=0$
[/mm]
[mm] $0*\alpha+0*\beta+3*\gamma=0$
[/mm]
Dann:
[mm] $\gamma=0$, [/mm] somit [mm] $\beta=0$ [/mm] und [mm] $\alpha=0$.
[/mm]
Damit:
[mm] $\alpha=\beta=\gamma=0$ [/mm] und die Bedingung für lineare Unabhängigkeit ist erfüllt.
Bei den Vektoren [mm] $\vektor{1 \\ 2 \\ 3},\vektor{4 \\ 5 \\ 6},\vektor{7 \\ 8 \\ 9}$ [/mm] habe ich jedoch einige Schwierigkeiten.
So gehe ich vor:
[mm] $\alpha\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+\beta\vektor{4 \\ 5 \\ 6}+\gamma\vektor{7 \\ 8 \\ 9}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $1*\alpha+4*\beta+7*\gamma=0$
[/mm]
[mm] $2*\alpha+5*\beta+8*\gamma=0$
[/mm]
[mm] $3*\alpha+6*\beta+9*\gamma=0$
[/mm]
Addiere $-2*$ die erste Gleichung zur zweiten Gleichung:
[mm] $-3*\beta-6*\gamma=0$
[/mm]
[mm] $-3*\beta=6*\gamma$
[/mm]
[mm] $\beta=-2*\gamma$
[/mm]
Addiere $-3*$ die erste Gleichung zur dritten Gleichung und setze dann [mm] $\beta=-2*\gamma$ [/mm] ein:
[mm] $-6*\beta-12*\gamma=0$
[/mm]
[mm] $12*\gamma-12*\gamma=0
[/mm]
[mm] $\gamma=0$
[/mm]
Daraus folgt auch, dass [mm] $\alpha=0$ [/mm] ist.
Meine Frage:
In der Musterlösung wurden die Vektoren anders behandelt. Was habe ich falsch gemacht?
Gruß
el_grecco
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> Danke leduart.
>
> Ich gehe den "klassischen" Weg:
>
> [mm]\alpha\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+\beta\vektor{2 \\ 2 \\ 0}+\gamma\vektor{3 \\ 3 \\ 3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]1*\alpha+2*\beta+3*\gamma=0[/mm]
> [mm]0*\alpha+2*\beta+3*\gamma=0[/mm]
> [mm]0*\alpha+0*\beta+3*\gamma=0[/mm]
>
> Dann:
> [mm]\gamma=0[/mm], somit [mm]\beta=0[/mm] und [mm]\alpha=0[/mm].
>
> Damit:
> [mm]\alpha=\beta=\gamma=0[/mm] und die Bedingung für lineare
> Unabhängigkeit ist erfüllt.
Hallo,
so ist es.
>
>
> Bei den Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3},\vektor{4 \\ 5 \\ 6},\vektor{7 \\ 8 \\ 9}[/mm]
> habe ich jedoch einige Schwierigkeiten.
> So gehe ich vor:
Du solltest Dir unbedingt den Gaußalgorithmus in Matrixschreibweise beibringen, weil es so schön übersichtlich ist.
Dein Tun ist bis fast zum Schluß richtig.
>
> [mm]\alpha\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+\beta\vektor{4 \\ 5 \\ 6}+\gamma\vektor{7 \\ 8 \\ 9}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]1*\alpha+4*\beta+7*\gamma=0[/mm]
> [mm]2*\alpha+5*\beta+8*\gamma=0[/mm]
> [mm]3*\alpha+6*\beta+9*\gamma=0[/mm]
>
> Addiere [mm]-2*[/mm] die erste Gleichung zur zweiten Gleichung:
> [mm]-3*\beta-6*\gamma=0[/mm]
> [mm]-3*\beta=6*\gamma[/mm]
> [mm]\beta=-2*\gamma[/mm]
>
> Addiere [mm]-3*[/mm] die erste Gleichung zur dritten Gleichung und
> setze dann [mm]\beta=-2*\gamma[/mm] ein:
> [mm]-6*\beta-12*\gamma=0[/mm]
> [mm]$12*\gamma-12*\gamma=0[/mm]
Bis hierher ist's richtig.
Aber dieser Schluß
> [mm]\gamma=0[/mm]
ist grottenfalsch!
Wie hast Du das denn gerechnet? Ggf. vorrechnen...
Gruß v. Angela
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Danke soweit.
Ups! ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Am Ende muss es natürlich $0=0$ heißen.
Trotz dieser Berichtigung sehe ich leider noch nicht, wie ich auf das Ergebnis der Musterlösung komme...?
Bezüglich dem Gaußalgorithmus in Matrixschreibweise wäre ich für ein simples Beispiel oder der Einfachheit halber einen Link sehr dankbar.
Entweder haben wir das nicht durchgenommen oder ich stehe momentan gewaltig auf dem Schlauch.
Gruß
el_grecco
EDIT:
Ich stand wohl auf dem Schlauch...
Im Matrixform müssten dann die Vektoren so aussehen:
[mm] $\pmat{ 1 & 4 & 7 & 0 \\ 2 & 5 & 8 & 0 \\ 3 & 6 & 9 & 0}$
[/mm]
Dennoch erleichtert mir diese Darstellung die Aufgabe nicht...
EDIT2:
Ich habe jetzt wohl den richtigen Weg gefunden.
Nach diesen Schritten
Addiere -2* die erste Gleichung zur zweiten Gleichung:
[mm] $-3\cdot{}\beta-6\cdot{}\gamma=0$
[/mm]
Addiere -3* die erste Gleichung zur dritten Gleichung:
[mm] $-6\cdot{}\beta-12\cdot{}\gamma=0$
[/mm]
muss man durch Überlegen für Alpha und Beta geeignete Zahlen finden, sodass die Aussage erfüllt ist.
Das ist für [mm] $\beta=2$ [/mm] und für [mm] $\gamma=-1$ [/mm] der Fall:
$-3*2-6*(-1)=0$
Die Werte für Alpha und Beta setzt man dann in die erste Gleichung ein:
[mm] $\alpha+4*2+7*(-1)=0$ [/mm] und das ergibt [mm] $\alpha=-1$
[/mm]
Schließlich:
[mm] $-1\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+2\vektor{4 \\ 5 \\ 6}-1\vektor{7 \\ 8 \\ 9}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
Die Bedingung für lineare Unabhängigkeit ist nicht erfüllt. In der Musterlösung wurde der dritte Vektor durch Addition auf die andere Seite gebracht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Sa 10.04.2010 | | Autor: | el_grecco |
Danke, mathiko. 
Gruß
el_grecco
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http://129.143.234.105/mathebgy/fileadmin/user_upload/vektorgeometrie/070LinearAbhaengig/070LinearAbhaengigMod/lineare_abhngigkeit_mit_matrix_prfen.html 