Basis und Dimension < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 So 04.12.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Im [mm] IR^{4} [/mm] seien
W= < [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -1 \\ 2}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0},
[/mm]
[mm] \vektor{1\\ 0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 0\\ -1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 2}>
[/mm]
und die Vektoren [mm] x=\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1} [/mm] und y = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0 \\ 0}.
[/mm]
a) Bestimme eine Basis B von W und die Dimension von W.
b) Kann man einen Vektor aus B gegen x austauschen, um so eine Basis vo W zu bekommen? geht das mit y?
c) Ersetze mH. des Steinitzschen Austauschsatzes in der Standardbasis von [mm] R^{4} [/mm] möglichst viele Vektoren durch Vektoren aus B. |
zu a) ich hab zunächst m.H. des Gauß-Verfahrens den Rang von W bestimmt.
ich erhalte :
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & -2 \\0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
Also ist rang (W)=3
Bilden dann die ersten drei zeilen die Basis? Die Dimension ist ja die Anzahl der Vektoren in der Basis, d.h. ich müsste erst mal die Basis rauskriegen...
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> Im [mm]IR^{4}[/mm] seien
> W= < [mm]\vektor{-1 \\
-1 \\
-1 \\
2}, \vektor{1 \\
1 \\
0 \\
0},[/mm]
>
> [mm]\vektor{1\\
0 \\
0 \\
1}, \vektor{-1 \\
0\\
-1 \\
0}, \vektor{1 \\
1 \\
-1 \\
2}>[/mm]
>
> und die Vektoren [mm]x=\vektor{0 \\
-1 \\
0 \\
1}[/mm] und y =
> [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0}.[/mm]
>
> a) Bestimme eine Basis B von W und die Dimension von W.
> b) Kann man einen Vektor aus B gegen x austauschen, um so
> eine Basis vo W zu bekommen? geht das mit y?
> c) Ersetze mH. des Steinitzschen Austauschsatzes in der
> Standardbasis von [mm]R^{4}[/mm] möglichst viele Vektoren durch
> Vektoren aus B.
> zu a) ich hab zunächst m.H. des Gauß-Verfahrens den Rang
> von W bestimmt.
> ich erhalte :
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & -1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 }.[/mm]
>
> Also ist rang (W)=3
Hallo,
es wäre nicht so übel zu wissen, welches Deine Startmatrix war.
Nun, ich denke mal, Du hast die 5 erzeugenden vektoren in die Spalten geschrieben.
Nachgerechnet habe ich nichts.
Der Rang der Matrix =3, also hat der von den 5 Vektoren aufgespannte Raum die Dimension 3.
Nach einem Satz aus der Vorlesung findest Du im Erzeugendensystem drei linear unabhängige Vektren, welche eine Basis von B bilden.
> Bilden dann die ersten drei zeilen die Basis?
Wohl kaum.
Erstens mal müßte man sie noch zu Spalten aufrichten, und dann hätte man Vektoren mit 5 Einträgen, was ja nicht dazu paßt, daß W ein Teilraum des [mm] \IR^4 [/mm] ist.
(Du vermischst erade zwei Berechnungsverfahren. s.u.)
> Die
> Dimension ist ja die Anzahl der Vektoren in der Basis, d.h.
> ich müsste erst mal die Basis rauskriegen...
Ja.
Kochrezept: die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Deiner ZSF in der 1., 2. und 3. Spalte.
Also bilden die 1., 2. und 3.Spalte der Ursprungsmatrix eine Basis von W.
Was Dir im Hinterkopf schwebte:
Du kannst die erzeugenden Vektoren auch als Zeilen in eine Matrix legen, diese auf ZSF bringen. Richtest Du die Nichtnullzeilen wieder zu Spalten auf, hast Du eine Basis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 So 04.12.2011 | | Autor: | rollroll |
> es wäre nicht so übel zu wissen, welches Deine
> Startmatrix war.
> Nun, ich denke mal, Du hast die 5 erzeugenden vektoren in
> die Spalten geschrieben.
Ja, so hab ich's gemacht.
Also bilden die Vektoren [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -1 \\ 2}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] eine Basis un d damit ist dim W=3.
Was muss man denn bei der b) überprüfen. Quasi drei Fälle durchprobiren (also jeweils einen der vektoren der Basis gegen x tauschen, die anderen beiden gleich lassen) und gucken, ob sich der Rang der Matrix verändert?
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> > es wäre nicht so übel zu wissen, welches Deine
> > Startmatrix war.
> > Nun, ich denke mal, Du hast die 5 erzeugenden vektoren
> in
> > die Spalten geschrieben.
>
> Ja, so hab ich's gemacht.
>
> Also bilden die Vektoren [mm]\vektor{-1 \\
-1 \\
-1 \\
2}, \vektor{1 \\
1 \\
0 \\
0}[/mm]
> und [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0 \\
1}[/mm] eine Basis un d damit ist dim
> W=3.
>
> Was muss man denn bei der b) überprüfen. Quasi drei
> Fälle durchprobiren (also jeweils einen der vektoren der
> Basis gegen x tauschen, die anderen beiden gleich lassen)
> und gucken, ob sich der Rang der Matrix verändert?
Hallo,
"muß" würde ich nicht sagen, aber das was Du sagst, ist eine Möglichkeit, die Aufgabe zu lösen. Ist ja eine schnelle Sache.
Ansonsten kannst Du schauen, ob x und y in W liegen.
Wenn ja, dann sagt dir ein Satz aus der Vorlesung, daß Du einen der Basisvektoren gegen x austauschen kannst.
Und ein anderer sagt, daß Du den Vektor durch Vektoren aus Deiner Basis zu einer Basis ergänzen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Di 06.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Gut, ich habe bei
a) aus der Matrix [mm] \pmat{ -1 & -1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 2 } [/mm] erhalten, dass ihr Rang 3 ist und damit dim(W)=3 und B= { [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -1 \\2}, [/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\1} [/mm] } eine Basis von W ist.
b) x liegt in W, da dann das LGS lösbar ist und y liegt nicht in W , da das LGS keine Lösung hat.
Ist es dann egal, welchen vektor aus W ich gegen x austausche?
c) Die Standardvektoren von [mm] IR^{4} [/mm] sind ja: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}. [/mm]
Hier weiß ich aber nicht, wie ich ansetzen soll...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Mi 07.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Stimmt das soweit?
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Hallo rollroll,
> Stimmt das soweit?
Leider nicht.
Gruss
MathePower
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Hallo rollroll,
> Gut, ich habe bei
> a) aus der Matrix [mm]\pmat{ -1 & -1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 2 }[/mm]
Laut Aufgabe muss die Matrix doch so aussehen:
[mm]\pmat{ -1 & -1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & \red{0} \\ 1 & 1 & -1 & 2 }[/mm]
> erhalten, dass ihr Rang 3 ist und damit dim(W)=3 und B= {
> [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ -1 \\2},[/mm]
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\1}[/mm]} eine
> Basis von W ist.
> b) x liegt in W, da dann das LGS lösbar ist und y liegt
> nicht in W , da das LGS keine Lösung hat.
> Ist es dann egal, welchen vektor aus W ich gegen x
> austausche?
> c) Die Standardvektoren von [mm]IR^{4}[/mm] sind ja: [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}.[/mm]
> Hier weiß ich aber nicht, wie ich ansetzen soll...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mi 07.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Oh, sorry , Vertipper, die 1 ist richtig.
Ist es eigentlich egal, ob man die vektoren in die spalten oder die zeilen schreibt?
Hab mal grade nachgeguckt, bei meiner Rechnung hab ich sie in die spalten und nicht wie hier in die zeilen geschrieben.
Stimmt das sonst soweit? Wie geht dann die c)?
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Hallo rollroll,
> Oh, sorry , Vertipper, die 1 ist richtig.
> Ist es eigentlich egal, ob man die vektoren in die spalten
> oder die zeilen schreibt?
> Hab mal grade nachgeguckt, bei meiner Rechnung hab ich sie
> in die spalten und nicht wie hier in die zeilen
> geschrieben.
> Stimmt das sonst soweit? Wie geht dann die c)?
Ja, das stimmt soweit.
Zu Teil c)
Schau nach welche Vektoren aus der Standardbasis,
nicht durch die Basisvektoren von W ausgedrückt werden können.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 07.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Jetzt hast du einmal geschrieben, dass es stimmt und einmal geschrieben , dass es nicht stimmt, bin gerade ein bisschen verwirrt....
Wie überprüft man denn die bedingung, die du für c) angegeben hast am besten?
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Hallo rollroll,
> Jetzt hast du einmal geschrieben, dass es stimmt und einmal
> geschrieben , dass es nicht stimmt, bin gerade ein bisschen
> verwirrt....
>
Nach dem Du geschrieben hast, das es sich in der Aufgabe um einen
Tippfehler handelt, habe ich geschrieben, dass Deine bisherigen
Ergebnisse stimmen.
> Wie überprüft man denn die bedingung, die du für c)
> angegeben hast am besten?
Stelle eine Matrix auf, die die Basisvektoren von W und die Basisvektoren der Standardbasis enthält und wende das Elimationsverfahren nach Gauß an.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mi 07.12.2011 | | Autor: | rollroll |
ist es jetzt eigentlich egal, ob man die vektoren von W in Spalten oder zeilen schreibt?
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Hallo rollroll,
> ist es jetzt eigentlich egal, ob man die vektoren von W in
> Spalten oder zeilen schreibt?
Die Vektoren in W schreibst Du jetzt in Spalten.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Do 08.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Also i-wie kriege ich bei allen Standardvektoren aus IR4 ein LGS ohne Lösung raus (da in der letzten zeile stets steht: (0 0 0 1). Heißt das dass ich keinen ersetzen kann?
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> Also i-wie kriege ich bei allen Standardvektoren aus IR4
> ein LGS ohne Lösung raus (da in der letzten zeile stets
> steht: (0 0 0 1). Heißt das dass ich keinen ersetzen kann?
Hallo,
wohl kaum, denn es würde dem Austauschsatz, welcher nun doch schon seit ein paar Jährchen bewiesen ist, widersprechen.
Die Folgerung daraus kann nur sein: Du hast etwas falsch gemacht.
Wenn man Deine Matrizen und ihre Zeilenstufenformen mal sehen dürfte, wüßte man mehr.
> ein LGS ohne Lösung raus (da in der letzten zeile stets
> steht: (0 0 0 1)
Ich glaub', Du bist gerade falsch gespurt.
Du schreibst die 4 vektoren ja in Spalten, um zu gucken, ob die für die Lineare Unabhängigkeit zuständige Gleichung nur die triviale Lösung hat.
Es geht hier also um ein HOMOGENES LGS, dh. Du hast neben der 4. Spalte noch eine unsichtbare Nullspalte, nämlich die rechte Seite der Gleichung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Do 08.12.2011 | | Autor: | rollroll |
> Stelle eine Matrix auf, die die Basisvektoren von W und die
> Basisvektoren der Standardbasis enthält und wende das
> Elimationsverfahren nach Gauß an.
Heißt das ich soll also folgende Matrix bearbeiten:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0} [/mm] ?
oder soll ich tatsächlich alle Vektoren der kanonischen basis von IR4 rein schreiben, also die obige matrix um 3 spalten erweitern?
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Hallo rollroll,
> > Stelle eine Matrix auf, die die Basisvektoren von W und die
> > Basisvektoren der Standardbasis enthält und wende das
> > Elimationsverfahren nach Gauß an.
>
> Heißt das ich soll also folgende Matrix bearbeiten:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0}[/mm]
> ?
>
> oder soll ich tatsächlich alle Vektoren der kanonischen
> basis von IR4 rein schreiben, also die obige matrix um 3
> spalten erweitern?
Letzteres.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Do 08.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Dann erhalte ich :
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 2 & 1}
[/mm]
Mir jetzt aber nicht wirklich klar, was ich dann folgern kann?
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Hallo rollroll,
> Dann erhalte ich :
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> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 2 & 1}[/mm]
>
> Mir jetzt aber nicht wirklich klar, was ich dann folgern
> kann?
Jetzt kannst folgern, dass keine Einheitsvektor des [mm]\IR^{4}[/mm] durch die
Basisvektoren von W dargestellt werden.
Somit sind die 3 Basisvektoren und ein Einheitsvektor des [mm]\IR^{4}[/mm]
Basis des gesamten [mm]\IR^{4}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Do 08.12.2011 | | Autor: | rollroll |
> Jetzt kannst folgern, dass keine Einheitsvektor des [mm]\IR^{4}[/mm]
> durch die
> Basisvektoren von W dargestellt werden.
Wieso kann ich das jetzt einfach so folgern?
> Somit sind die 3 Basisvektoren und ein Einheitsvektor des
> [mm]\IR^{4}[/mm]
> Basis des gesamten [mm]\IR^{4}[/mm]
Dabei ist es egal , welchen Einheitsvektor ich wähle?
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Hallo rollroll,
> > Jetzt kannst folgern, dass keine Einheitsvektor des [mm]\IR^{4}[/mm]
> > durch die
> > Basisvektoren von W dargestellt werden.
> -
> Wieso kann ich das jetzt einfach so folgern?
>
Weil in der letzten Zeile zu Anfang 3 Nullen stehen,
und dann lauter Zahlen ungleich Null.
> > Somit sind die 3 Basisvektoren und ein Einheitsvektor des
> > [mm]\IR^{4}[/mm]
> > Basis des gesamten [mm]\IR^{4}[/mm]
>
> Dabei ist es egal , welchen Einheitsvektor ich wähle? #
Ja, das ist egal.
Gruss
MathePower
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