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| Aufgabe | Man gebe für die durch
f(x) = x1 [mm] \vektor{2 \\ 4} [/mm] + x2 [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] + x3 [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] 00
gegebene lineare Abbildung f von R3 nach R2 von Bild f eine Basis sowie die Dimension an. |
HILFE!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Diese Abbildung ist ja linear abhängig, aber wie können wir eine Basis erstellen.
Dimension ist 3, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Do 12.01.2006 | | Autor: | Lavanya |
Halli Hallo,...
Also um eine Basis zu bestimmen musst du erstmal gucken ob die Vektoren linear unabhängig sind....
Wie du schon richtig gesagt hast sind diese linear abhängig jetzt musst du erstmal ein lineares Gleichungssystem aufstellen.....
was so aussehen sollte...
aus ......
f(x) = x1 [mm] \vektor{2 \\ 4} [/mm] + x2 [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] + x3 [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm]
folgt :
[mm] 2x_{1}+ x_{2} [/mm] =0
[mm] 4x_{1}+2x_{2} [/mm] =0
So jetzt musst du diesen Gleichungssystem nach [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] auflösen..... was ja nicht so schwierig sein wird.....
Da es verschiedene Basen in einem Vektorraum geben kann..... ist in diesem Fall die Basis
entweder [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] oder [mm] \vektor{2 \\ 4}.....
[/mm]
da die Dimension immer die Anzahl der Vektoren einer Basis ist... ist in diesem Fall die Dimension 1........
Ich hoffe , dass ich dir das verständlich erklären konnte... wenn nicht frag einfach....
CIao
Lavanya
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Hallo.
ersteinmal vielen, vielen Dank für deine Mühe!
An den Ansatz mit dem LGS hatten wir auch schon mal gedacht, aber wir wußten nicht, was wir dann damit anfangen sollten.
ich habe jetzt also:
[mm] 2x_{1}=-x_{2}
[/mm]
[mm] x_{1}= \bruch{1}{2}x_{2}
[/mm]
und
[mm] 2x_{2}=-4x_{1}
[/mm]
[mm] x_{2}=-2x_{1}
[/mm]
Aber warum kann ich einfach sagen, dass das die Basen sind?
Also, wie bereche ich die Basen?
Und zu den Dimensionen... warum ist das jetzt 1?
Wie schreibe ich das denn am besten mit der linearen Unabhängigkeit?
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] = x [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
x=2 daher linear abhängig?
Vielen Dank schon mal,
die mathedummies
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Lösung von Lavanya stimmt:
[mm] $\pmat{1 \\ 2}$ [/mm] ist eine Basis von $Bild(F)$.
Der Weg dahin ist aber nicht richtig. Es scheint so, als würde man eine Basis des Kerns berechnen wollen.
Bilde die drei kanonsichen Basisvektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] ab. Du bekommst drei Bildvektoren im [mm] $\IR^2$. [/mm] Diese spannen das Bild von $F$ auf. Nun musst du so lange Vektoren "rausschmeißen", bis du eine maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren behaltst. In diesem Fall bleibt von den drei Vektoren nur einer übrig - daher ist die Dimension des Bildes $1$.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
auch Dir vielen Dank für Deine Antwort.
Aber hier kommen wir nun gar nicht mehr mit...
Was sind kanonische Basisvektoren? und
Was hat das mit dem rausschmeißen auf sich?
Viele verwirrte Grüße,
die Mathedummies
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Sa 14.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
> Was sind kanonische Basisvektoren? und
die kanonischen Basisvektoren sind hier die Standardbasisvektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] , also : $B=( [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] , [mm] \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1})$
[/mm]
wenn du/ihr zum beispiel den ersten Basisvektor in f einsetzen wollt ist also [mm] $x_1=1$ [/mm] und [mm] $x_2=x_3=0$ [/mm] - damit bekommt man dann hierfür einen zweidimensionalen Vektor raus.
Für alle drei Basisvektoren also 3 zweidim. Vektoren.
> Was hat das mit dem rausschmeißen auf sich?
Nun ihr müsst ja noch eine Basis finden, also eine maximal linear unabhängige Menge von Vektoren..
allgemein kann man dies so lösen, dass man die zu betrachteten Vektoren als ZEILEN in eine Matrix schreibt und dann den Gauß-Algo darauf los lässt (nur Zeilenoperationen !!), wenn man die Matrix dann in Zeilenstufenform hat, sind die Zeilen, die nicht komplett 0 sind, die Vektoren einer Basis.
d.h. ihr würdet hier eine 3x2 Matrix bekommen und beim Gauß-Algo würde nur noch die erste Zeile stehen bleiben - dies (also die ZEILE) ist dann der Vektor der Basis - versucht es doch mal..
viele Grüße
DaMenge
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