Basis u. Dim eines UVRaums < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Di 28.11.2006 | | Autor: | Thomas85 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo!
also ich habe einen Untervektorraum V[mm]\subset\IR^n[/mm]
und [mm]V:={(x_{1},x_{2},.......,x_{n}| x_{1}+x_{2}+.......+x_{n}=0)}[/mm]
ich habe bewiesen dass V ein Unterraum ist. nun muss ich nch eine Basis finden und die Dimension bestimmen. Wie kann ich da heran gehen?
mfg und danke fürdie hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Di 28.11.2006 | | Autor: | Zaed |
Hallo,
Wie zeigt man, dass V ein Untervektorraum des [mm] \IR^n [/mm] ist!
Nimm dir zwei Elemente aus V, zB v und w, bilde dann v + w und zeige, dass (v+w) immernoch in V liegt. Dito mit [mm] \lambda v [/mm]
Das sollte eigentlich kein Probem sein, oder doch?
Kommen wir zu dem vielleicht etwas schwereren Aufgabenteil:
Finde eine Basis für V!
betrachten wir einmal das Gleichungssystem [mm] x_{1} + x_{2} + ... + x_{n} = 0 [/mm]
Da wir ein Gleichungssystem mit n Unbekannten haben, allerdings nur einer Gleichung, folgt daraus unmittelbar, dass wir n - 1 Unbekannte haben!
Seien dies O.B.d.A. folgende: [mm] x_{2} = \lambda_{2} , ... , x_{n} = \lambda_{n} [/mm]
Daraus ergibt sich jetzt doch folgender Lösungsraum:
[mm] \vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}} \in V \gdw \vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}} = \vektor{- (\lambda_{2} + ... + \lambda_{n}) \\ \lambda_{2} \\... \\ \lambda_{n}} [/mm]
Vielleicht wirst du dich jetzt fragen, woher das kommt. Aber du kannst das obige Gleichungssystem doch einfach nach [mm] x_{1} [/mm] umstellen und erhälst durch die freien Parameter automatisch deine Darstellung für [mm] x_{1}
[/mm]
Und wie [mm] x_{2} , ... , x_{n} [/mm] aussehen wissen wir ja schon (s.o.)
Nun kannst du das zerpflücken und erhälst folgendes System:
[mm] \vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}} = \lambda_{2}\vektor{- 1 \\ 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 } + \lambda_{3}\vektor{- 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 } + ... + \lambda_{n}\vektor{- 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \\ 1 }[/mm]
Daraus ergibt sich ja nun deine Basis, da du weist wie man jeden Vektor aus V darstelen kann (Erzeugendensystem)
Linear unabhängig sind sie sicherlich offensichtlich :D
Also folgt daraus, dass sie eine Basis bilden...
Wie kommst du nun also auf die Dimension von V?
Ich hoffe das ist soweit verständlich und kommst nun mit dem Rest alleine zum Ziel (sind ja einige Tipps gegeben)
Sollte noch etwas unklar sein, so melde dich einfach nochmal ;)
mfG Zaed
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Di 28.11.2006 | | Autor: | Thomas85 |
Vielen Dank für die Antwort, aber wie du beim "Zerpflücken" vorgehst ist mir noch nicht ganz klar..
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Do 30.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
hi,
das zerpflücken ist einfach nur die komponentenweise summe von vektoren ausgenutzt:
$ [mm] \vektor{- (\lambda_{2} + ... + \lambda_{n}) \\ \lambda_{2} \\... \\ \lambda_{n}} [/mm] = [mm] \lambda_{2}\vektor{- 1 \\ 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 } [/mm] + [mm] \lambda_{3}\vektor{- 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 } [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n}\vektor{- 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \\ 1 } [/mm] $
summiere mal die rechte seite einfach zusammen (skalare in die vektoren ziehen), dann siehst du schon die gleichheit^^
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Di 28.11.2006 | | Autor: | Zaed |
Das rührt einfach aus der Definition für die Addition von Vektoren!
Beispiel: [mm] \vektor{a + b + c \\ e + f \\ h} = \vektor{a \\ e \\ h} + \vektor{b \\ f \\ 0} + \vektor {c \\ 0 \\ 0} [/mm]
Du addierst ja schließlich Komponentenweise :D
mfG Zaed
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