Basis prüfen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Mo 09.12.2013 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe 1 | Prüfe ob die nachfolgenden Mengen jeweil eine Basis des [mm] \IR3 [/mm] bilden:
A:={(1,1,2),(1,2,5),(5,3,4)}
B:={(1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1)} |
| Aufgabe 2 | Sei V der Vektorraum der (mxn) Matrizen über dem Körper K. Sei Eij [mm] \in [/mm] V mit
eij = 1. Alle anderen Komponenten dieser Matrix seien 0. Zeige, dass {Eij} mit i =1..m, j =1..n eine Basis von V bildet. |
Hi!
Zu Aufgabe 1:
Um zu zeigen, dass eine Basis vorliegt, müssen ja
1. A/B l.ua. sein und
2. <A>/<B> muss gleich dem Vektorraum, also dem [mm] \IR3 [/mm] sein
Bei A weiß ich, dass keine Basis vorliegt, weil der rang=2 ist, also A linear abhängig ist
B ist linear unabhängig!
Aber wie kann ich zeigen, dass <B> = [mm] \IR3 [/mm] ist??
Zu Aufgabe 2:
Hier weiß ich nicht wirklich, wie die Matrix aussieht?
Entweder hat sie die Form, dass jeder Eintrag 1 ist!
Dann ist sie keine Basis von V, weil die einzelnen Vektoren ja linear abhängig sind!
Oder sie hat die Form der Einheitsmatrix!
Dann ist sie Basis von V, weil die Vektoren linear unabhängig sind und <In> = [mm] \IR3
[/mm]
Oder gehe ich die Sache falsch an?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Mo 09.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Prüfe ob die nachfolgenden Mengen jeweil eine Basis des
> [mm]\IR3[/mm] bilden:
> A:={(1,1,2),(1,2,5),(5,3,4)}
> B:={(1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1)}
> Sei V der Vektorraum der (mxn) Matrizen über dem Körper
> K. Sei Eij [mm]\in[/mm] V mit
> eij = 1. Alle anderen Komponenten dieser Matrix seien 0.
> Zeige, dass {Eij} mit i =1..m, j =1..n eine Basis von V
> bildet.
> Hi!
>
> Zu Aufgabe 1:
> Um zu zeigen, dass eine Basis vorliegt, müssen ja
> 1. A/B l.ua. sein und
> 2. <A>/<B> muss gleich dem Vektorraum, also dem [mm]\IR3[/mm] sein
>
> Bei A weiß ich, dass keine Basis vorliegt, weil der rang=2
> ist, also A linear abhängig ist
Ja, das stimmt.
>
> B ist linear unabhängig!
Auch das stimmt. Hast Du das gezeigt ?
> Aber wie kann ich zeigen, dass <B> = [mm]\IR3[/mm] ist??
Wenn Du 3 Elemente [mm] b_1,b_2,b_3 [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] hast, so gilt:
[mm] \{b_1,b_2,b_3\} [/mm] ist eine Basis des [mm] \IR^3 \gdw \{b_1,b_2,b_3\} [/mm] ist l.u.
In diesem Fall gilt: [mm] = \IR^3
[/mm]
>
> Zu Aufgabe 2:
> Hier weiß ich nicht wirklich, wie die Matrix aussieht?
>
> Entweder hat sie die Form, dass jeder Eintrag 1 ist!
nein.
> Dann ist sie keine Basis von V, weil die einzelnen
> Vektoren ja linear abhängig sind!
>
> Oder sie hat die Form der Einheitsmatrix!
nein
> Dann ist sie Basis von V, weil die Vektoren linear
> unabhängig sind und <In> = [mm]\IR3[/mm]
>
> Oder gehe ich die Sache falsch an?
[mm] E_{ij} [/mm] ist die Matrix, die dort, wo sich die i-te Zeile und die j-te Spalte kreuzen eine 1 hat. Alle anderen Matrixeinträge sind =0.
FRED
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Mo 09.12.2013 | | Autor: | dodo1924 |
Zu 1:
Ist das in einem Satz so definiert:
[mm] \{b_1,b_2,b_3\} [/mm] ist eine Basis des [mm] \IR^3 \gdw \{b_1,b_2,b_3\} [/mm] ist l.u. ?
Dann müsste ich ja immer nur zeigen, dass eine Menge linear unabhängig ist??
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Hallo,
> Zu 1:
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> Ist das in einem Satz so definiert:
> [mm]\{b_1,b_2,b_3\}[/mm] ist eine Basis des [mm]\IR^3 \gdw \{b_1,b_2,b_3\}[/mm]
> ist l.u. ?
ich würde es so sagen: es folgt aus der Definition der Basis eines Vektorraumes. hast du darüber keine Unterlagen?
> Dann müsste ich ja immer nur zeigen, dass eine Menge
> linear unabhängig ist??
Die Vektoren müssen linear unabhängig sein, aber man darf nicht vergessen, dass man auch fordern muss, dass es genügend Vektoren sind (hier nämlich 3), auch wenn das im Rahmen dieser Aufgabe keine Rolle spielt.
Lies dir auf jeden Fall mal ![[]](/images/popup.gif) irgendwo die Definition einer Basis durch.
Gruß, Diophant
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