Basis für Durchschnitt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 So 07.01.2007 | | Autor: | Speyer |
| Aufgabe | Seien
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 1}, v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 2 \\ 3}, v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] w_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 2}, w_{2} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 4 \\ 2}, w_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Bestimmen sie eine Basis für den Durchschnitt [mm] \mathcal{L}(v_{1},v_{2},v_{3}) \cap \mathcal{L}(w_{1},w_{2},w_{3}). [/mm] |
Die Tips, die wir zu dieser Aufgabe bekommen haben, sind nun ziemlich dürftig:
v [mm] \in U_{1} [/mm] = [mm] \matchcal{L}(v_{1},v_{2},v_{3}) \gdw \alpha_{1}*v_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2}*v_{2} [/mm] + [mm] \alpha_{3}*v_{3}
[/mm]
v [mm] \in U_{2} [/mm] = [mm] \matchal{L}(w_{1},w_{2},w_{3}) \gdw \beta_{1}*w_{1} [/mm] + [mm] \beta_{2}*w_{2} [/mm] + [mm] \beta_{3}*w_{3}
[/mm]
v [mm] \in U_{1} \cap U_{2} \gdw [/mm] v = [mm] \summe_{i=1}^{3}\alpha_{i}v_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{3}\beta_{i}w_{i}
[/mm]
Woraus nun ein LGS mit 4 Gleichungen und 6 Unbekannten entstehen soll.
Soweit so gut..Doch was muß ich jetzt machen ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 So 07.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
deine Tipps sind doch mehr als ausreichend:
stelle das Gleichungssystem auf, dann bekommst du 4 Gleichungen und 6 Variablen, das gilt es dann zu lösen und die Lösung dann in einer der beisen Seiten einzusetzen !
um mal das ganze an einem ähnlichen Beispiel zu sehen, schau mal HIER
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 07.01.2007 | | Autor: | Speyer |
Ich habe jetzt folgendes LGS:
[mm] \alpha_{1}1 [/mm] + [mm] \alpha_{2}2 [/mm] + [mm] \alpha_{3}1 [/mm] = [mm] \beta_{1}1 [/mm] + [mm] \beta_{2}2 [/mm] + [mm] \beta_{3}1
[/mm]
[mm] \alpha_{1}2 [/mm] + [mm] \alpha_{2}0 [/mm] + [mm] \alpha_{3}0 [/mm] = [mm] \beta_{1}0 [/mm] + [mm] \beta_{2}0 [/mm] + [mm] \beta_{3}1
[/mm]
[mm] \alpha_{1}3 [/mm] + [mm] \alpha_{2}2 [/mm] + [mm] \alpha_{3}2 [/mm] = [mm] \beta_{1}1 [/mm] + [mm] \beta_{2}4 [/mm] + [mm] \beta_{3}2
[/mm]
[mm] \alpha_{1}1 [/mm] + [mm] \alpha_{2}3 [/mm] + [mm] \alpha_{3}1 [/mm] = [mm] \beta_{1}2 [/mm] + [mm] \beta_{2}2 [/mm] + [mm] \beta_{3}1
[/mm]
Nur, wie soll ich das jetzt lösen? Und was fang ich dann genau mit der Lösung an? Ich muß ja jetzt die [mm] \alpha [/mm] 's und [mm] \beta [/mm] 's rausfinden..
D.h. die Basis des Durchschnitts wäre dann ein [mm] v=\alpha [/mm] * Vektor + [mm] \beta [/mm] * Vektor oder wie kann ich das verstehn? Ich steh hier total aufm Schlauch..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 So 07.01.2007 | | Autor: | andieh |
Ich habe jetzt das LGS gelöst und bekomme folgendes Ergebnis:
[mm] $\alpha_1 [/mm] + 2 [mm] \cdot \alpha_2 [/mm] + [mm] \alpha_3 [/mm] - [mm] \beta_1 [/mm] - 2 [mm] \cdot \beta_2 [/mm] - [mm] \beta_3 [/mm] = 0$
$4 [mm] \cdot \alpha_2 [/mm] + 2 [mm] \cdot \alpha_3 [/mm] - 2 [mm] \cdot \beta_1 [/mm] - 4 [mm] \cdot \beta_2 [/mm] - [mm] \beta_3 [/mm] = 0$
[mm] $\alpha_3 [/mm] - 2 [mm] \cdot \beta_2 [/mm] = 0$
$- 2 [mm] \cdot \beta_1 [/mm] - [mm] \beta_3 [/mm] = 0$
Daraus erkennt man, dass [mm] $\beta_2$ [/mm] eine linearkombination von [mm] $\alpha_3$ [/mm] ist, oder nicht? Was kann ich damit jetzt ausdrücken?
Gruß und vielen Dank
andieh
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 So 07.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
..
> [mm]\alpha_3 - 2 \cdot \beta_2 = 0[/mm]
> [mm]- 2 \cdot \beta_1 - \beta_3 = 0[/mm]
>
> Daraus erkennt man, dass [mm]\beta_2[/mm] eine linearkombination von
> [mm]\alpha_3[/mm] ist, oder nicht? Was kann ich damit jetzt
> ausdrücken?
also ich habe als letzte Gleichung [mm]2 \cdot \beta_1 - \beta_3 = 0[/mm], aber ich kann mich auch verrechnet haben...
jedenfalls gehen wir mal von deinen beiden letzten Gleichungen aus, dann setze in der letzten gleichung [mm] $\beta_3=t$ [/mm] (beliebig), dann ist [mm] $\beta_1=-\bruch{t}{2}$
[/mm]
in der vorletzten Gleichung hast du auch wieder einen Freiheitsgrad, also setze [mm] $\beta_2=s$ [/mm] (beliebig)
die Alpha-Werte kann man jetzt in abhängigkeit von s und t noch berechnen - muss man aber gar nicht mehr, denn man hat jetzt schon die Beta-Werte vollständig bestimmt und kann dies in die rechte Seite des ursprünglcihen Gl.sys. einsetzen:
der Schnitt ist also:
$ [mm] -\bruch{t}{2}*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 2}+ s*\vektor{2 \\ 0 \\ 4 \\ 2}+ t*\vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 1} [/mm] = [mm] s*\vektor{2 \\ 0 \\ 4 \\ 2}+ t'*\vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 1} [/mm] $ (mit [mm] $t'=\bruch{t}{2}$ [/mm] und s,t beliebig)
also sieht man hier schon zwei erzeugende Vektoren des Schnitts
(aber bitte selbst nochmal das Gl.sys. bis zum ende berechnen!)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 So 07.01.2007 | | Autor: | Speyer |
ahoi nochmal! ich hab die letzten stunden auch mal weiter gerechnet, und hab folgends als letztes LGS raus:
1 0 0 -1 0 0
0 2 0 0 0 -1
0 0 -1 0 2 0
0 0 0 2 0 -1
also heißt das für den Lösungsraum:
[mm] \vektor{\alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \alpha_{3} \\ \beta_{1} \\ \beta_{2} \\ \beta_{3}} [/mm] = [mm] \vektor {\beta_{1} \\ \frac{\beta_{3}}{2} \\ 2*\beta_{2} \\ \frac{\beta_{3}}{2} \\ \beta_{2} \\ \beta_{3}}
[/mm]
wie setze ich das ganze jetzt ein?
ich dachte eigentlich, dass ich mir jetzt die drei ersten Vektoren nehme,
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 1}, \vektor{2 \\ 0 \\ 2 \\ 3}, \vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
und dort dann statt [mm] \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} [/mm] die jeweilig rausgefunden werte einsetze? oder lieg ich da falsch?
ich bekomme dann nämlich folgends raus:
[mm] \beta_{1} [/mm] + [mm] \beta_{3} +2*\beta_{2}
[/mm]
[mm] 2*\beta_{1}
[/mm]
[mm] 3*\beta_{1} [/mm] + [mm] \beta_{3} [/mm] + [mm] 4*\beta_{2}
[/mm]
[mm] \beta_{1} [/mm] + [mm] 3*\frac{\beta_{3}}{2} [/mm] + [mm] 2*\beta{2}
[/mm]
aber damit kann man ja jetzt nichts anfangen...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 So 07.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja statt die beta's in deinen lösungsvektor zu schreiben, solltest du Variablen verwenden, die für beliebige Werte stehen - wie s und t.
Aber eigentlich solltest du nur zwei Variablen rausbekommen...
(die erste Zeile sieht sehr verdächtig aus !
denn [mm] \beta_1 [/mm] hast du ja schon bzgl [mm] \beta_3 [/mm] dargestellt...)
aber ich habe doch auch schon vorgemacht, wie man die letzten drei Lösungskomponenten in die rechte Seite einsetzt - kannst du dies denn nachvollziehen? Das würde doch auch reichen...
viele Grüße
DaMenge
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