Basis eines Vektors < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Sa 04.11.2006 | | Autor: | matter |
| Aufgabe | Gegeben sind die vier Vektoren
a=[-10,2,3]
b=[-1,-9,8]
c=[4,-5,10]
d=[-2,5,7]
Stellen Sie den Vektor d in der Basis {a,b,c} dar. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin Erstsemester MaschBau und dies ist die erste Übung in Technischer Mechanik.
Unser Seminarleiter hat gesagt, dass die Aufgaben maschinell erstellt wurden und somit keine "geraden Werte" rauskommen.
Ich hab die Sache nun durch ein LGS gelöst, da ich das mit Gauß/Determinante oder wie auch immer man das nennt nicht klar komme. WIr hatten das am Gymmi nur ganz kurz und da bin ich nicht durchgestiegen.
Meine Lösung durch LGS
r [-10,2,3] + s [-1,-9,8] + t [4,-5,10] = [-2,5,7]
Ergibt:
[mm] \bruch{597}{707} [/mm] [-10,2,3] - [mm] \bruch{112}{101} [/mm] [-1,-9,8] - [mm] \bruch{943}{707} [/mm] [4,-5,10] = [-2,5,7]
So weit so gut. Das sollte auch stimmen. Allerdings ist der Rechenweg halt eklig und ich wollte jetzt wissen wie ich sowas mit Hilfe einer Determinante lösen kann um auf r, s und t zu kommen.
Schonmal danke im Vorraus.
Martin
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Hallo Martin,
> Gegeben sind die vier Vektoren
> a=[-10,2,3]
> b=[-1,-9,8]
> c=[4,-5,10]
Du wolltest gern wissen, wie man diese Aufgabe mithilfe von Determinanten lösen kann; ich demonstrier's mal an Deinem Beispiel:
Zunächst wird eine Matrix $A$ gebildet, deren Spalten die Vektoren
$a,b,c$ sind; die sieht dann so aus:
[mm]A=\pmatrix{-10& -1&4 \\2 & -9&-5 \\ 3 & 8 & 10}[/mm].
Dann findest Du die Koordinaten $r,s,t$ des Vektors [mm]\vector{-2 \\ 5 \\ 7}[/mm] in der Basis [mm]{a,b,c}[/mm], indem Du das Gleichungssystem [mm]A\cdot{} \vector{r \\ s \\ t}=\vector{-2 \\ 5 \\ 7}[/mm] löst.
Für [mm]2 \times 2[/mm]- bzw. [mm]3 \times 3[/mm]-Matrizen kann man die Determinante noch recht einfach berechnen; für 3X3 ist das die "Regel von Sarrus" bzw. "Jägerzaun-Regel".
Falls die Determinante von $A$ nicht 0 ist, ergeben sich $r,s,t$ durch [mm]r=\bruch{\det{A_1}}{\det{A}}, s=\bruch{\det{A_2}}{\det{A}}, t=\bruch{\det{A_3}}{\det{A}}[/mm].
Hierbei sind [mm] $A_1, A_2, A_3$ [/mm] Matrizen, die aus $A$ entstehen, wenn man jeweils die 1., 2., 3. Spalte von $A$ durch den Vektor auf der rechten Seite der Gleichung ersetzt.
(Cramersche Regel)
Soweit erstmal.
Mfg
zahlenspieler
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