Basis durch Gauß < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In [mm] \IR^{4} [/mm] sei [mm] v_{1}=(1,2,1,1), v_{2}=(1,0,-1,-1), v_{3}=(1,1,2,1), v_{4}=(0,1,1,1), v_{5}=(2,3,3,2) [/mm] und [mm] V=Spann(v_{1}...v_{5})
[/mm]
a) finden Sie eine Basis von V indem Sie den Gauß-Algorithmus auf die Matrix A [mm] \in [/mm] M(5x4, [mm] \IR) [/mm] anwenden, deren Zeilen die Vektoren [mm] v_{1}...v_{5} [/mm] sind.
b) das Gleiche nur mit den Spalten |
a) [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 3 & 2 }
[/mm]
umgeformt erhalte ich
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
zeilenvektoren sind linear unabhängig
die Basis wären dann die zeilenvektoren [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
b)
[mm] B=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 2 }
[/mm]
umgeformt:
[mm] B=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
der. 5. Spaltenvektor lässt sich durch den 1. und 3. Kombinieren. die restlichen vektoren sind aber nicht linear unabhängig, ich hab also irgendwas falsch gemacht, sehe es aber nicht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Di 19.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> In [mm]\IR^{4}[/mm] sei [mm]v_{1}=(1,2,1,1), v_{2}=(1,0,-1,-1), v_{3}=(1,1,2,1), v_{4}=(0,1,1,1), v_{5}=(2,3,3,2)[/mm]
> und [mm]V=Spann(v_{1}...v_{5})[/mm]
>
> a) finden Sie eine Basis von V indem Sie den
> Gauß-Algorithmus auf die Matrix A [mm]\in[/mm] M(5x4, [mm]\IR)[/mm] anwenden,
> deren Zeilen die Vektoren [mm]v_{1}...v_{5}[/mm] sind.
> b) das Gleiche nur mit den Spalten
> a) [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 3 & 2 }[/mm]
>
> umgeformt erhalte ich
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> zeilenvektoren sind linear unabhängig
Du meinst 3 Zeilenvektoren sind linear unabhängig
> die Basis wären dann die zeilenvektoren [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> b)
> [mm]B=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 2 }[/mm]
>
> umgeformt:
> [mm]B=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> der. 5. Spaltenvektor lässt sich durch den 1. und 3.
> Kombinieren. die restlichen vektoren sind aber nicht linear
> unabhängig, ich hab also irgendwas falsch gemacht, sehe es
> aber nicht
Du willst doch, dass es wieder nur 3 sind!, der 4. lässt sich aus dem ersten und 2. kombinieren! also hast du wieder 3 lin unabhängige, also ne Basis!
Ne Matrix hat immer gleichviele lin unabh. Zeilen wie Spalten, und dass es nur 3 lin unabh. Zeilen sind siehst du ja direkt!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 19.12.2006 | | Autor: | celeste16 |
danke, jetzt sehe ich's auch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Di 19.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi zusammen,
und von was sollen diese drei Vektoren aus dem [mm] $\IR^5$ [/mm] eine Basis sein?
Wie genau ist die Aufgabenstellung bei der b) ?
viele Grüße
DaMenge
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es geht immernoch um eine Basis von V - die aufgabenstellung ist genau die gleiche wie bei a), nur dass die vektoren diemal die spalten sind.
ist das etwa falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Di 19.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
eine Basis von V kommt da sicher nicht raus, denn entweder hast du drei Vektoren aus dem [mm] $\IR^5$ [/mm] (aber V ist teilmenge des [mm] $\IR^4$) [/mm] oder du hast 5 Vektoren des [mm] $\IR^4$, [/mm] also sind die garantiert schon linear abhängig.
Wenn du deine 5 Vektoren jetzt als spalten schreiben MUSST, dann darfst du auch nur Spaltenoperationen durchführen, denn Zeilenoperationen schmeißen dich dann aus dem Erzeugnis raus !
Bsp: du hast die drei Vektoren aus dem [mm] $\IR^2$ [/mm] :
[mm] $\vektor{2\\1},\vektor{0\\0}, \vektor{0\\0}$
[/mm]
der erste Vektor ist offensichtlich eine Basis des Erzeugnisses, aber wenn du die Vektoren nun als Spalten in die MAtrix schreibst, also:
[mm] $\pmat{2&0&0\\1&0&0}$ [/mm]
und dann eine Zeilenstufenform durch Zeilenoperationen versuchst, also :
[mm] $\pmat{2&0&0\\0&0&0}$
[/mm]
ist weder die erste Zeile (falsche Dimension)
noch die erste Spalte (falsches Erzeugnis)
eine Basis...
also, wenn du die Vektoren als Spalten schreibst, darfst du nur Spaltenoperationen machen
(also dasselbe nur alles transponiert, deshalb wundert mich die Aufgabenstellung doch sehr stark)
viele Grüße
DaMenge
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leuchtet mir ein.
hier nochmal der genaue wortlaut:
Finden Sie eine Basis von V , die aus einigen der Vektoren [mm] v_{1}, [/mm] . . . , [mm] v_{5} [/mm] besteht.
Wenden Sie hierfür den Gauß-Algorithmus auf die Matrix B [mm] \in [/mm] M(4 × [mm] 5,\IR) [/mm] an, deren Spalten die Vektoren [mm] v_{1}, [/mm] . . . , [mm] v_{5} [/mm] sind.
ich kann mir aber an sich nicht vorstellen dass sie das mit der transponierten matrix wollten.
ich denke schon dass die die zeilenops haben wollen.
wenn nicht muss ich aber nur die Spalten und Zeilen vertauschen und ganz normale zeilenops machen, oder?
aber dann hab ich ja wieder teil a) und laut einer Ergänzung ("keine punkte wenn sie lediglich ihre antwort aus teil a wiederholen") darf man das nicht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Di 19.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo celeste
Damenge hat recht, die Basis kannst du so nicht bestimmen, aber die Zahl der lin, unabhängigen, nämlich 3 kannst du auch finden, und mit etwas weiterrechnen auch , welche du als Basis wählen kannst.
Du hast ja das Gleichungssystem a1*v1+a2*v2+...a5*v5=0 auf diese Weise gelöst.
Damit sollte man weiterkommen, wenn es sein muss.
Gruss leduart
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